Seja V um espaço Euclidiano e d a métrica usual de V. Mostre que as seguintes funções, são distâncias sobre V.
  1. d2(u, v)=raizd(u, v), para todo u, v in V.
  2. d3(u, v)=d(u, v)1+d(u, v), para todo u, v in V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente mostrar que duas funções específicas são realmente “distâncias” num espaço Euclidiano . Isso significa que a gente precisa verificar se essas funções satisfazem as propriedades de uma métrica: não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular. Vamos precisar lembrar dessas propriedades e aplicá-las nas funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . A primeira coisa a fazer é verificar a não-negatividade. Ou seja, precisamos garantir que para todos os .

Passo 3

Como é a métrica usual de , sabemos que . A raiz quadrada de um número não negativo também é não negativa, então . Portanto, a função satisfaz a não-negatividade.

Passo 4

Agora, vamos para a identidade dos indiscerníveis. Precisamos mostrar que se e somente se .

Passo 5

Se , então , e, portanto, . Por outro lado, se , então , o que implica . Sabemos que só acontece quando . Assim, a identidade dos indiscerníveis está satisfeita para .

Passo 6

Vamos verificar a simetria. Precisamos mostrar que .

Passo 7

A métrica é simétrica, ou seja, . Então, . Portanto, é simétrica.

Passo 8

Por último, vamos conferir a desigualdade triangular. Precisamos mostrar que para todos .

Passo 9

Sabemos que pela desigualdade triangular da métrica usual. Porém, como é a raiz quadrada, não é tão direto. De fato, a função raiz quadrada não preserva a desigualdade triangular, ou seja, em geral, não garante que seja verdade para todas as situações. Portanto, a função não satisfaz a desigualdade triangular e não é uma métrica válida.

Resposta

A fun��ão não é uma métrica válida porque não satisfaz a desigualdade triangular. Já a função satisfaz todas as propriedades de uma métrica e, portanto, é uma distância válida no espaço Euclidiano .

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