Seja um espaço Euclidiano e a métrica usual de . Mostre que as seguintes funções, são distâncias sobre .
  1. , para todo .
  2. , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente mostrar que duas funções específicas são realmente “distâncias” num espaço Euclidiano . Isso significa que a gente precisa verificar se essas funções satisfazem as propriedades de uma métrica: não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular. Vamos precisar lembrar dessas propriedades e aplicá-las nas funções dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . A primeira coisa a fazer é verificar a não-negatividade. Ou seja, precisamos garantir que para todos os .

Passo 3

Como é a métrica usual de , sabemos que . A raiz quadrada de um número não negativo também é não negativa, então . Portanto, a função satisfaz a não-negatividade.

Passo 4

Agora, vamos para a identidade dos indiscerníveis. Precisamos mostrar que se e somente se .

Passo 5

Se , então , e, portanto, . Por outro lado, se , então , o que implica . Sabemos que só acontece quando . Assim, a identidade dos indiscerníveis está satisfeita para .

Passo 6

Vamos verificar a simetria. Precisamos mostrar que .

Passo 7

A métrica é simétrica, ou seja, . Então, . Portanto, é simétrica.

Passo 8

Por último, vamos conferir a desigualdade triangular. Precisamos mostrar que para todos .

Passo 9

Sabemos que pela desigualdade triangular da métrica usual. Porém, como é a raiz quadrada, não é tão direto. De fato, a função raiz quadrada não preserva a desigualdade triangular, ou seja, em geral, não garante que seja verdade para todas as situações. Portanto, a função não satisfaz a desigualdade triangular e não é uma métrica válida.

Resposta

A fun��ão não é uma métrica válida porque não satisfaz a desigualdade triangular. Já a função satisfaz todas as propriedades de uma métrica e, portanto, é uma distância válida no espaço Euclidiano .

Exercícios relacionados

Sejam V um espaço Euclidiano. Mostre que:
  1. e são .
Sejam um operador linear, autovetores associados aos autovalores e . Determine
Seja a transformação linear
e as bases e . Determinar:
a) a matriz de nas bases e ;
b) a matriz de nas bases e , sendo a base canônica de ;
c) a matriz canônica de ;
d) usando as matrizes obtidas nos itens anteriores.
Seja a transformação linear definida por
Determinar:
a) ;
b) tal que ;
c) tal que .