Seja
um espaço Euclidiano e
a métrica usual de
. Mostre que as seguintes funções, são distâncias sobre
.
-
, para todo
.
-
, para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo pra gente mostrar que duas funções específicas são realmente “distâncias” num espaço Euclidiano
. Isso significa que a gente precisa verificar se essas funções satisfazem as propriedades de uma métrica: não-negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e desigualdade triangular. Vamos precisar lembrar dessas propriedades e aplicá-las nas funções dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. A primeira coisa a fazer é verificar a não-negatividade. Ou seja, precisamos garantir que
para todos os
.
Passo 3
Como
é a métrica usual de
, sabemos que
. A raiz quadrada de um número não negativo também é não negativa, então
. Portanto, a função
satisfaz a não-negatividade.
Passo 4
Agora, vamos para a identidade dos indiscerníveis. Precisamos mostrar que
se e somente se
.
Passo 5
Se
, então
, e, portanto,
. Por outro lado, se
, então
, o que implica
. Sabemos que
só acontece quando
. Assim, a identidade dos indiscerníveis está satisfeita para
.
Passo 6
Vamos verificar a simetria. Precisamos mostrar que
.
Passo 7
A métrica
é simétrica, ou seja,
. Então,
. Portanto,
é simétrica.
Passo 8
Por último, vamos conferir a desigualdade triangular. Precisamos mostrar que
para todos
.
Passo 9
Sabemos que
pela desigualdade triangular da métrica usual. Porém, como
é a raiz quadrada, não é tão direto. De fato, a função raiz quadrada não preserva a desigualdade triangular, ou seja, em geral,
não garante que
seja verdade para todas as situações. Portanto, a função
não satisfaz a desigualdade triangular e não é uma métrica válida.
Resposta
A fun��ão
não é uma métrica válida porque não satisfaz a desigualdade triangular. Já a função
satisfaz todas as propriedades de uma métrica e, portanto, é uma distância válida no espaço Euclidiano
.