Seja V o R-espaço vetorial formado por todas as sequências numéricas da forma a0, a1, a2, ... com a_i em R. A adição e a multiplicação por escalar são definidas termo a termo, isto é, (a0, a1, a2, ...) + (b0, b1, b2, ...) := (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, ...) e r(a0, a1, a2, ...) := (r a0, r a1, r a2, ...) para todo r em R. Definimos
W = {(a0, a1, a2, ...) ∈ V | an+2 = an+1 + an para todo n natural ≥ 0}
Seja phi := 1/2 * (1 + raiz(5)). A seguinte afirmação é correta:
(a) W é um subespaço vetorial de V e possui dimensão finita. Os vetores v1 := (1, phi, phi^2, phi^3, ...) e v2 := (1, 1 - phi, (1 - phi)^2, (1 - phi)^3, ...) pertencem a W e são linearmente independentes, mas não geram W.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial formado por todas as sequências numéricas do tipo onde cada é um número real. A questão fala sobre um subconjunto de que segue uma certa regra: cada termo depois dos dois primeiros é a soma dos dois anteriores, ou seja, para todo . Além disso, temos dois vetores e definidos com base no número de ouro . O exercício afirma que é um subespaço vetorial de dimensão finita, que e pertencem a , são linearmente independentes, mas não geram todo . Vamos verificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se é realmente um subespaço vetorial de . Para isso, precisamos verificar três coisas:
  1. Fechamento sob adição: Se pegarmos duas sequências em e somarmos termo a termo, a nova sequência também deve satisfazer .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma sequência em por um escalar, a sequência resultante também deve satisfazer a regra.
  3. Presença do vetor zero: A sequência composta por todos os zeros deve estar em .
Vamos verificar cada um:
  1. Adição: Suponha que e estão em . Então, para cada , temos:
    Agora, . Vamos ver se isso está em :
    Ou seja, a sequência também satisfaz a regra, então está em .
  2. Multiplicação por escalar: Seja um escalar real e em . Então:
    Assim, também satisfaz a regra e está em .
  3. Vetor zero: A sequência claramente satisfaz para todo , então está em .
Como os três critérios são atendidos, é realmente um subespaço vetorial de .

Passo 3

Agora, vamos determinar a dimensão de . A regra é uma relação de recorrência linear de segunda ordem. Isso significa que para definir completamente uma sequência em , precisamos apenas dos dois primeiros termos e . Uma vez que esses são fixados, todos os termos seguintes são determinados pela regra.
Portanto, qualquer sequência em pode ser escrita como combinação linear de duas sequências base, cada uma correspondendo a uma escolha diferente de e . Assim, a dimensão de é 2, ou seja, é de dimensão finita.

Passo 4

Vamos verificar se os vetores e pertencem a .
  • Para :
    Vamos conferir a regra:
    Sabemos que satisfaz a equação quadrática . De maneira geral, elevando ao poder, temos:
    Portanto, satisfaz a regra e está em .
  • Para :
    Vamos verificar a regra:
    Sabemos que é o outro termo da solução da equação quadrática , especificamente . Assim, , o que confirma que também está em .
Portanto, ambos e pertencem a .

Passo 5

Agora, vamos verificar se e são linearmente independentes. Duas sequências são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes são zero).
Suponha que exista e tais que:
Isso significa que para todo :
Para :
Para :
Resolvendo esse sistema:
  1. Substituindo na segunda equação: Sabemos que , então . Portanto, e, consequentemente, .
Como a única solução é trivial, e são linearmente independentes.

Passo 6

Por último, vamos verificar se e geram . Como é um espaço vetorial de dimensão 2 e temos dois vetores que são linearmente independentes, esses vetores formam uma base para . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear de e .
Portanto, e geram todo o espaço .

Resposta

A afirmação (a) está parcialmente correta: é de fato um subespaço vetorial de dimensão finita e os vetores e pertencem a sendo linearmente independentes. No entanto, eles geram todo o espaço , contrariamente ao que foi afirmado. Portanto, a parte que diz que eles "não geram " está errada.

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