Seja Pn o R-espaço vetorial de polinômios com coeficientes reais de grau <= n. Introduzimos um produto interno em Pn através da fórmula
lang<= p, qrang<=:=integral-1^1 p(t) q(t) d t, p, q in Pn
Seja T: Pn Pn o operador linear definido por T(p)(t):=((1-t^2) p^prime(t))^prime para p in Pn e seja rj(t):=d^jd t^j(1-t^2)^j, j=0,1, ldots, n. O polinômio rj(t) satisfaz a equação diferencial (1-t^2) rj^prime prime(t)- 2 t rj^prime(t)+j(j+1) rj=0 para cada j=0,1, ldots, n. Considere as seguintes afirmações:
(I) O operador T é auto-adjunto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um espaço vetorial de polinômios lang<= p, q rang<= = integral-1^1 p(t) q(t) , dt com coeficientes reais e grau no máximo T(p)(t) = ( (1 - t^2) p'(t) )' . A gente tem um produto interno definido por
Além disso, há um operador linear que age nos polinômios dessa forma:
A questão nos pergunta sobre a afirmação:
(I) O operador é auto-adjunto.
Para resolver isso, precisamos entender o que significa um operador ser auto-adjunto e verificar se satisfaz essa condição no espaço com o produto interno dado.

Passo 2

O que é um operador auto-adjunto?
Um operador linear lang<= T(p), q rang<= = lang<= p, T(q) rang<= para todos p, q in Pn em um espaço vetorial com produto interno é chamado de auto-adjunto (ou auto-adjuntamente ou autoadjunto) se ele satisfaz:
Isso basicamente significa que “respeita” o produto interno, ou seja, a aplicação de em um polinômio e então tomar o produto interno com outro é o mesmo que tomar o produto interno primeiro e depois aplicar .

Passo 3

Vamos verificar se lang<= T(p), q rang<= = lang<= p, T(q) rang<= é auto-adjunto.
Precisamos mostrar que para quaisquer polinômios lang<= T(p), q rang<= = integral-1^1 T(p)(t) cdot q(t) , dt = integral-1^1 ( (1 - t^2) p'(t) )' q(t) , dt e integral u' v , dt = [u v]-1^1 - integral u v' , dt em u = (1 - t^2) p'(t) Rightarrow u' = ( (1 - t^2) p'(t) )' :
v = q(t)
Vamos primeiro calcular integral-1^1 u' v , dt = [u v]-1^1 - integral-1^1 u v' , dt :
lang<= T(p), q rang<= = [ (1 - t^2) p'(t) q(t) ]-1^1 - integral-1^1 (1 - t^2) p'(t) q'(t) , dt
Agora, vamos usar a regra de integração por partes. Lembrando que:
lang<= T(p), q rang<= = - integral-1^1 (1 - t^2) p'(t) q'(t) , dt
Vamos definir:
lang<= p, T(q) rang<= = integral-1^1 p(t) cdot T(q)(t) , dt = integral-1^1 p(t) ( (1 - t^2) q'(t) )' , dt
lang<= p, T(q) rang<= = [ p(t) (1 - t^2) q'(t) ]-1^1 - integral-1^1 p'(t) (1 - t^2) q'(t) , dt
Aplicando a integração por partes:
lang<= p, T(q) rang<= = - integral-1^1 p'(t) (1 - t^2) q'(t) , dt
Substituindo e :
Observamos que nos limites e , o termo se anula (porque e ). Assim, o termo de fronteira desaparece:
Agora, vamos calcular :
Aplicando novamente a integração por partes da mesma forma:
Novamente, o termo de fronteira se anula, então:

Passo 4

Comparando os dois resultados:
lang<= T(p), q rang<= = - integral-1^1 (1 - t^2) p'(t) q'(t) , dt
lang<= p, T(q) rang<= = - integral-1^1 p'(t) (1 - t^2) q'(t) , dt
Perceba que as duas integrais são iguais, já que a multiplicação é comutativa ( lang<= T(p), q rang<= = lang<= p, T(q) rang<= para todos p, q in Pn ). Portanto:

Resposta

Sim, o operador é auto-adjunto no espaço com o produto interno definido.

Exercícios relacionados