Seja
o
-espaço vetorial de polinômios com coeficientes reais de grau
. Introduzimos um produto interno em
através da fórmula
Seja
o operador linear definido por
para
e seja
. O polinômio
satisfaz a equação diferencial
para cada
. Considere as seguintes afirmações:
(I) O operador
é auto-adjunto.
(I) O operador
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um espaço vetorial de polinômios
com coeficientes reais e grau no máximo
. A gente tem um produto interno definido por
Além disso, há um operador linear
que age nos polinômios dessa forma:
A questão nos pergunta sobre a afirmação:
(I) O operador
é auto-adjunto.
Para resolver isso, precisamos entender o que significa um operador ser auto-adjunto e verificar se
satisfaz essa condição no espaço
com o produto interno dado.
Passo 2
O que é um operador auto-adjunto?
Um operador linear
em um espaço vetorial com produto interno é chamado de auto-adjunto (ou auto-adjuntamente ou autoadjunto) se ele satisfaz:
Isso basicamente significa que
“respeita” o produto interno, ou seja, a aplicação de
em um polinômio e então tomar o produto interno com outro é o mesmo que tomar o produto interno primeiro e depois aplicar
.
Passo 3
Vamos verificar se
é auto-adjunto.
Precisamos mostrar que para quaisquer polinômios
e
em
:
Vamos primeiro calcular
:
Agora, vamos usar a regra de integração por partes. Lembrando que:
Vamos definir:
Aplicando a integração por partes:
Substituindo
e
:
Observamos que nos limites
e
, o termo
se anula (porque
e
). Assim, o termo de fronteira desaparece:
Agora, vamos calcular
:
Aplicando novamente a integração por partes da mesma forma:
Novamente, o termo de fronteira se anula, então:
Passo 4
Comparando os dois resultados:
Perceba que as duas integrais são iguais, já que a multiplicação é comutativa (
). Portanto:
Resposta
Sim, o operador
é auto-adjunto no espaço
com o produto interno definido.