Seja V o R-espaço vetorial formado por todas as sequências numéricas da forma a0, a1, a2, ... com a_i em R. A adição e a multiplicação por escalar são definidas termo a termo, isto é, (a0, a1, a2, ...) + (b0, b1, b2, ...) := (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, ...) e r(a0, a1, a2, ...) := (r a0, r a1, r a2, ...) para todo r em R. Definimos
W = {(a0, a1, a2, ...) ∈ V | an+2 = an+1 + an para todo n natural ≥ 0}
Seja phi := 1/2 * (1 + raiz(5)). A seguinte afirmação é correta:
(e) W não é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um espaço vetorial formado por todas as sequências numéricas do tipo onde cada é um número real. A gente define a adição e a multiplicação por escalar termo a termo. Depois, define-se um conjunto dentro de que consiste das sequências que satisfazem a relação para todo natural. A pergunta é saber se é ou não um subespaço vetorial de . Para resolver isso, precisamos lembrar o que caracteriza um subespaço vetorial: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se contém o vetor zero. O vetor zero em é a sequência . Vamos ver se essa sequência está em . Aplicando a condição , temos:
para todo .
Isso é verdade, então o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas sequências em e somarmos termo a termo, a sequência resultante também deve estar em .
Sejam e em , então:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que a sequência também satisfaz a condição , logo ela está em . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma sequência em e multiplicarmos cada termo por um número real , a nova sequência também deve estar em .
Seja em e . Então:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso mostra que a sequência também satisfaz a condição , logo ela está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de . Assim, a afirmação (e) está incorreta.

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