Seja
o
-espaço vetorial formado por todas as sequências numéricas da forma
com
. A adição e a multiplicação por escalar são definidas termo a termo, isto é,
e
para todo
. Definimos
Seja
. A seguinte afirmação é correta:
(e)
não é um subespaço vetorial de
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. Temos um espaço vetorial
formado por todas as sequências numéricas do tipo
onde cada
é um número real. A gente define a adição e a multiplicação por escalar termo a termo. Depois, define-se um conjunto
dentro de
que consiste das sequências que satisfazem a relação
para todo
natural. A pergunta é saber se
é ou não um subespaço vetorial de
. Para resolver isso, precisamos lembrar o que caracteriza um subespaço vetorial: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
contém o vetor zero. O vetor zero em
é a sequência
. Vamos ver se essa sequência está em
. Aplicando a condição
, temos:
Isso é verdade, então o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas sequências em
e somarmos termo a termo, a sequência resultante também deve estar em
.
Sejam
e
em
, então:
Somando essas duas equações:
Isso mostra que a sequência
também satisfaz a condição
, logo ela está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma sequência em
e multiplicarmos cada termo por um número real
, a nova sequência também deve estar em
.
Seja
em
e
. Então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso mostra que a sequência
também satisfaz a condição
, logo ela está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
. Assim, a afirmação (e) está incorreta.