Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
z=senh(raizx y)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0
E precisamos verificar se a função dada:
z = senh(raizx y)
satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e aplicar esses cálculos na equação fornecida.

Passo 2

Primeiro, identificamos que w = z = senh(raizx y) é a função . Ou seja, temos:
Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a , e e substituí-las na equação dada para verificar se a igualdade se mantém.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = ddx senh(raizx y) em relação a partial wpartial x = cosh(raizx y) cdot ddx (raizx y) :
ddx (raizx y) = 12 (x y)^-1/2 cdot y = y2 raizx y
Lembrando que a derivada de partial wpartial x = y2 raizx y cosh(raizx y) em relação a é , e aplicando a regra da cadeia:
Calculando a derivada de em relação a :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = ddy senh(raizx y) em relação a partial wpartial y = cosh(raizx y) cdot ddy (raizx y) :
ddy (raizx y) = 12 (x y)^-1/2 cdot x = x2 raizx y
Aplicando a mesma lógica:
partial wpartial y = x2 raizx y cosh(raizx y)
Calculando a derivada de em relação a :
Então:

Passo 5

Por fim, calculamos a derivada parcial de partial wpartial z = partial zpartial z = 1 em relação a . Como , temos:

Passo 6

Agora, substituímos todas as derivadas na equação original:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = y2 raizx y cosh(raizx y) + x2 raizx y cosh(raizx y) + 1
Podemos fatorar ( y + x2 raizx y ) cosh(raizx y) + 1 :
x + y2 raizx y cosh(raizx y) + 1
Simplificando :
Essa expressão não é igual a zero para valores gerais de e , a menos que haja uma condição específica que anule os termos, o que não é o caso aqui.

Resposta

Portanto, a função não satisfaz a equação diferencial dada.

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