Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial parcial:
E precisamos verificar se a função dada:
satisfaz essa equação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e aplicar esses cálculos na equação fornecida.
Passo 2
Primeiro, identificamos que
é a função
. Ou seja, temos:
Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
e substituí-las na equação dada para verificar se a igualdade se mantém.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Lembrando que a derivada de
em relação a
é
, e aplicando a regra da cadeia:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Aplicando a mesma lógica:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Então:
Passo 5
Por fim, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Como
, temos:
Passo 6
Agora, substituímos todas as derivadas na equação original:
Podemos fatorar
:
Simplificando
:
Essa expressão não é igual a zero para valores gerais de
e
, a menos que haja uma condição específica que anule os termos, o que não é o caso aqui.
Resposta
Portanto, a função
não satisfaz a equação diferencial dada.