Seja Pn o R-espaço vetorial de polinômios com coeficientes reais de grau <= n. Introduzimos um produto interno em Pn através da fórmula
lang<= p, qrang<=:=integral-1^1 p(t) q(t) d t, p, q in Pn
Seja T: Pn Pn o operador linear definido por T(p)(t):=((1-t^2) p^prime(t))^prime para p in Pn e seja rj(t):=d^jd t^j(1-t^2)^j, j=0,1, ldots, n. O polinômio rj(t) satisfaz a equação diferencial (1-t^2) rj^prime prime(t)- 2 t rj^prime(t)+j(j+1) rj=0 para cada j=0,1, ldots, n. Considere as seguintes afirmações:
(III) r0, ldots, rn formam uma base para Pn.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial que consiste em todos os polinômios de grau menor ou igual a com coeficientes reais. Foi definido um produto interno nesse espaço usando uma integral entre -1 e 1. Além disso, temos um operador linear que age sobre esses polinômios de uma forma específica envolvendo derivadas.
A afirmação que vamos analisar é a seguinte:
(III) formam uma base para .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores (ou polinômios, no nosso caso) formar uma base. Isso implica que eles devem ser linearmente independentes e que qualquer polinômio em pode ser escrito como uma combinação linear desses .

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que são os polinômios rj(t) = d^jdt^j (1 - t^2)^j . Eles são definidos como as derivadas de ordem de :
Isso significa que cada é um polinômio derivado de .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses polinômios c0 r0(t) + c1 r1(t) + ldots + cn rn(t) = 0 para todo t, são linearmente independentes e se eles geram todo o espaço .
Linearmente Independentes:
Para que os polinômios sejam linearmente independentes, não deve existir uma combinação linear não trivial deles que resulte no polinômio zero. Ou seja, se
então todos os coeficientes devem ser zero.
Gerar :
Além de serem lineares independentes, esses polinômios devem ser capazes de gerar qualquer polinômio de grau menor ou igual a por meio de combinações lineares.

Passo 4

Vamos considerar a dimensão do espaço . Sabemos que a dimensão de é , já que qualquer base de tem exatamente polinômios.
Como temos polinômios , se conseguirmos mostrar que eles são linearmente independentes, automaticamente eles formarão uma base para .

Passo 5

Para provar a independência linear, podemos usar o fato de que os polinômios satisfazem uma equação diferencial de Sturm-Liouville:
(1 - t^2) rj''(t) - 2t rj'(t) + j(j + 1) rj(t) = 0
Essas equações diferenciais garantem que cada é uma solução distinta para diferentes valores de , o que implica que eles são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão , concluímos que eles formam uma base para . Portanto, qualquer polinômio em pode ser expresso como uma combinação linear desses .

Resposta

A afirmação (III) é verdadeira: os polinômios formam uma base para .

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