Sejam os elementos u=(1,1,0) e v=(0,1,1) de R^3. Encontre o elemento w in R^3 tal que |w|=1 e lang<= u, wrang<==lang<= v, wrang<==0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: temos dois vetores no espaço tridimensional, e . Precisamos encontrar um terceiro vetor que tenha comprimento 1 (ou seja, seja um vetor unitário) e que seja perpendicular tanto a quanto a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar (que nos diz quando vetores são perpendiculares) e produto vetorial (que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que lang<= u, w rang<= = 0 e lang<= v, w rang<= = 0 é perpendicular a lang<= a, b rang<= = a1b1 + a2b2 + a3b3 e . Isso implica que o produto escalar de com e com deve ser zero:
O produto escalar de dois vetores e é dado por:

Passo 3

Para encontrar um vetor u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) que seja perpendicular a ambos u times v = (1 cdot 1 - 0 cdot 1, 0 cdot 0 - 1 cdot 1, 1 cdot 1 - 1 cdot 0) = (1 - 0, 0 - 1, 1 - 0) = (1, -1, 1) e , podemos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula do produto vetorial é:
Vamos calcular:

Passo 4

Agora que temos |w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2 , precisamos normalizar esse vetor para que seu comprimento seja 1. A norma de um vetor |u times v| = raiz1^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 é dada por:
Vamos calcular a norma de :

Passo 5

Para obter o vetor unitário w = u times v|u times v| = ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 ) , dividimos cada componente de pela sua norma:

Resposta

O vetor w = ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 ) que satisfaz as condições dadas é:

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