Sejam os elementos e de . Encontre o elemento tal que e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada na questão: temos dois vetores no espaço tridimensional, e . Precisamos encontrar um terceiro vetor que tenha comprimento 1 (ou seja, seja um vetor unitário) e que seja perpendicular tanto a quanto a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar (que nos diz quando vetores são perpendiculares) e produto vetorial (que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que é perpendicular a e . Isso implica que o produto escalar de com e com deve ser zero:
O produto escalar de dois vetores e é dado por:

Passo 3

Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos e , podemos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula do produto vetorial é:
Vamos calcular:

Passo 4

Agora que temos , precisamos normalizar esse vetor para que seu comprimento seja 1. A norma de um vetor é dada por:
Vamos calcular a norma de :

Passo 5

Para obter o vetor unitário , dividimos cada componente de pela sua norma:

Resposta

O vetor que satisfaz as condições dadas é:

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Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Mostre que, para quaisquer :
© .
Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Mostre que, para quaisquer :
(a) .
Seja o conjunto de todos os vetores da forma tal que . Verifique se é um subespaço de .
Sejam , e considere a matriz tal que , para todo .
(a) Mostre que é uma matriz simétrica.