Sejam os elementos
e
de
. Encontre o elemento
tal que
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada na questão: temos dois vetores no espaço tridimensional,
e
. Precisamos encontrar um terceiro vetor
que tenha comprimento 1 (ou seja, seja um vetor unitário) e que seja perpendicular tanto a
quanto a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar (que nos diz quando vetores são perpendiculares) e produto vetorial (que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
é perpendicular a
e
. Isso implica que o produto escalar de
com
e com
deve ser zero:
O produto escalar
de dois vetores
e
é dado por:
Passo 3
Para encontrar um vetor
que seja perpendicular a ambos
e
, podemos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais. A fórmula do produto vetorial é:
Vamos calcular:
Passo 4
Agora que temos
, precisamos normalizar esse vetor para que seu comprimento seja 1. A norma de um vetor
é dada por:
Vamos calcular a norma de
:
Passo 5
Para obter o vetor unitário
, dividimos cada componente de
pela sua norma:
Resposta
O vetor
que satisfaz as condições dadas é:
Exercícios relacionados
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Mostre que, para quaisquer
:
© .
©
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Mostre que, para quaisquer
:
(a) .
(a)
Seja
o conjunto de todos os vetores da forma
tal que
. Verifique se
é um subespaço de
.
Sejam
, e considere a matriz
tal que
, para todo
.
(a) Mostre que é uma matriz simétrica.
(a) Mostre que