• Sejam os vetores e em :
    (b) O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional . Isso entra no assunto de combinação linear da álgebra linear. Para resolver, vamos precisar encontrar se existem números (escalares) que, multiplicados pelos vetores e e somados, resultam no vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Se dissermos que o vetor é uma combinação linear de e , isso quer dizer que existem números e tal que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar e .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Agora que encontramos , vamos encontrar usando :

Passo 6

Vamos verificar se esses valores de e satisfazem a terceira equação:
Isso significa que há uma inconsistência no sistema. A terceira equação não é satisfeita com e .

Resposta

Não, o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e , porque não existe um par de escalares e que satisfaça todas as equações do sistema simultaneamente.

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Seja o espaço vetorial de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais.
(a) Mostre que .
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(b)