Sejam os vetores e em :
(b) O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional . Isso entra no assunto de combinação linear da álgebra linear. Para resolver, vamos precisar encontrar se existem números (escalares) que, multiplicados pelos vetores e e somados, resultam no vetor .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Se dissermos que o vetor é uma combinação linear de e , isso quer dizer que existem números e tal que:
Ou seja:
Passo 3
Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 4
Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar e .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 5
Agora que encontramos , vamos encontrar usando :
Passo 6
Vamos verificar se esses valores de e satisfazem a terceira equação:
Isso significa que há uma inconsistência no sistema. A terceira equação não é satisfeita com e .
Resposta
Não, o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e , porque não existe um par de escalares e que satisfaça todas as equações do sistema simultaneamente.