• Sejam os vetores u=(2,-3,2) e v=(-1,2,4) em R^3 :
    (b) O vetor (2,-5,4) pode ser escrito como combinação linear de u e v ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e no espaço tridimensional . Isso entra no assunto de combinação linear da álgebra linear. Para resolver, vamos precisar encontrar se existem números (escalares) que, multiplicados pelos vetores e e somados, resultam no vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Se dissermos que o vetor w = a cdot u + b cdot v é uma combinação linear de (2, -5, 4) = a cdot (2, -3, 2) + b cdot (-1, 2, 4) e , isso quer dizer que existem números e tal que:
Ou seja:

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
2a - b = 2 -3a + 2b = -5 2a + 4b = 4
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 4

Vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar 2a - b = 2 Rightarrow b = 2a - 2 e -3a + 2(2a - 2) = -5 -3a + 4a - 4 = -5 a - 4 = -5 a = -1 .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:

Passo 5

Agora que encontramos b = 2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4 , vamos encontrar usando :

Passo 6

Vamos verificar se esses valores de 2a + 4b = 4 2(-1) + 4(-4) = -2 -16 = -18 neq 4 e satisfazem a terceira equação:
Isso significa que há uma inconsistência no sistema. A terceira equação não é satisfeita com e .

Resposta

Não, o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e , porque não existe um par de escalares e que satisfaça todas as equações do sistema simultaneamente.

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