Seja
dada por
.
é injetora?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos trata de funções entre conjuntos, especificamente a injetividade. Precisamos analisar se a função dada
definida por
é injetora. Para resolver isso, vamos entender o que significa ser uma função injetora e aplicar isso ao nosso caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então
. Em outras palavras, elementos diferentes de
não mapeiam para o mesmo elemento em
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Supomos que
. Segundo a definição de
, isso significa que:
Passo 4
Para que essas duas tuplas sejam iguais, cada componente deve ser igual. Então, temos duas equações:
Passo 5
Agora, vamos interpretar isso. Se
e
, então necessariamente
. Isso mostra que a função
não atribui o mesmo valor a dois elementos diferentes do domínio.
Passo 6
Portanto, concluímos que a função
é injetora, já que não existem dois pares distintos em
que mapeiam para o mesmo par em
.
Resposta
Sim, a função
é injetora.