Seja uma função contínua convexa tal que . Prove que existe um único ponto com .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é contínua e convexa no intervalo . Além disso, sabemos que é menor que zero e é maior que zero. O que precisamos provar é que existe um ponto único dentro desse intervalo onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade, convexidade e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função contínua não tem “saltos” ou “quebras” em seu gráfico. Isso é importante porque, intuitivamente, se a função passa de um valor negativo para um positivo sem “pulos”, deve cruzar o eixo das abscissas em algum ponto.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função é contínua em um intervalo e é qualquer número entre e , então existe pelo menos um ponto em tal que . No nosso caso, , e sabemos que , então pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um ponto onde .

Passo 4

Agora, precisamos mostrar que esse ponto é único. Para isso, vamos usar a propriedade de convexidade da função. Uma função convexa tem a propriedade de que qualquer segmento de reta entre dois pontos no gráfico da função está acima ou sobre o gráfico. Isso significa que a função não pode “voltar” para o eixo das abscissas mais de uma vez sem perder a convexidade.

Passo 5

Suponhamos, por contradição, que existam dois pontos distintos e em onde . Como a função é convexa, a linha que liga e deve estar acima da função. Porém, isso implicaria que a função é constante no intervalo , o que contraria a condição de convexidade a menos que a função seja linear nesse intervalo.

Passo 6

Mas se a função fosse linear entre e , ela não poderia ser convexa a menos que fosse constante, o que já estabelecemos que apenas ocorre em um único ponto de cruzamento. Portanto, nossa suposição de que existem dois pontos onde leva a uma contradição, o que significa que deve existir apenas um único ponto onde .

Resposta

Portanto, existe um único ponto em tal que .

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