Seja
uma função contínua convexa tal que
. Prove que existe um único ponto
com
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que é contínua e convexa no intervalo
. Além disso, sabemos que
é menor que zero e
é maior que zero. O que precisamos provar é que existe um ponto único
dentro desse intervalo
onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade, convexidade e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função contínua não tem “saltos” ou “quebras” em seu gráfico. Isso é importante porque, intuitivamente, se a função passa de um valor negativo para um positivo sem “pulos”, deve cruzar o eixo das abscissas em algum ponto.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o Teorema do Valor Intermediário. Esse teorema diz que se uma função
é contínua em um intervalo
e
é qualquer número entre
e
, então existe pelo menos um ponto
em
tal que
. No nosso caso,
, e sabemos que
, então pelo Teorema do Valor Intermediário, deve existir pelo menos um ponto
onde
.
Passo 4
Agora, precisamos mostrar que esse ponto
é único. Para isso, vamos usar a propriedade de convexidade da função. Uma função convexa tem a propriedade de que qualquer segmento de reta entre dois pontos no gráfico da função está acima ou sobre o gráfico. Isso significa que a função não pode “voltar” para o eixo das abscissas mais de uma vez sem perder a convexidade.
Passo 5
Suponhamos, por contradição, que existam dois pontos distintos
e
em
onde
. Como a função é convexa, a linha que liga
e
deve estar acima da função. Porém, isso implicaria que a função é constante no intervalo
, o que contraria a condição de convexidade a menos que a função seja linear nesse intervalo.
Passo 6
Mas se a função fosse linear entre
e
, ela não poderia ser convexa a menos que fosse constante, o que já estabelecemos que apenas ocorre em um único ponto de cruzamento. Portanto, nossa suposição de que existem dois pontos onde
leva a uma contradição, o que significa que deve existir apenas um único ponto
onde
.
Resposta
Portanto, existe um único ponto
em
tal que
.
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Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:
a) ,
a)
Para cada uma das equações abaixo localize intervalos I que contenham as raízes:
Sejam
contínua e
deriváveis. Defina
pondo
, para todo
. Prove que
é derivável e
.
Seja
derivável, com
integrável. Prove que, para quaisquer
, tem-se
. Conclua que o TFC vale com