Seja uma função diferenciável, mostre que: é convexa se, e somente se, é monótona crescente no ; Dica: Usando a convexidade, tome e a terna e faça . Depois tome a terna e faça . Conclua que . Para a volta use o teorema do valor médio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma função diferenciável é convexa se e somente se a sua derivada é monótona crescente no intervalo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função convexa, propriedades das derivadas e usar o teorema do valor médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser convexa. Uma função é convexa em um intervalo se, para quaisquer dois pontos e nesse intervalo e para qualquer entre 0 e 1, temos:
Isso basicamente diz que a linha que une dois pontos na curva está sempre acima ou sobre a própria curva.

Passo 3

Agora, vamos assumir que é convexa e mostrar que é monótona crescente. Segundo a dica, vamos tomar e considerar uma pequena variação tendendo a 0.
Primeiro, definimos os pontos da terna como , , e . Aplicando a definição de convexidade:
Simplificando e rearranjando termos, e depois fazendo , obtemos que a derivada em é menor ou igual à derivada em :
Isso mostra que é crescente.

Passo 4

Agora, para provar a outra direção, ou seja, se é monótona crescente, então é convexa, vamos usar o teorema do valor médio. Esse teorema nos diz que para qualquer , existe um em tal que:
Como é crescente, temos que:
Multiplicando ambos os lados por (positivo, já que ):
Dividindo tudo por :
Isso satisfaz a definição de convexidade da função .

Resposta

Portanto, mostramos que uma função diferenciável é convexa se e somente se sua derivada é monótona crescente no intervalo .

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