Seja
uma função diferenciável, mostre que:
é convexa se, e somente se,
é monótona crescente no
; Dica: Usando a convexidade, tome
e a terna
e faça
. Depois tome a terna
e faça
. Conclua que
. Para a volta use o teorema do valor médio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que uma função diferenciável
é convexa se e somente se a sua derivada
é monótona crescente no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função convexa, propriedades das derivadas e usar o teorema do valor médio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser convexa. Uma função
é convexa em um intervalo se, para quaisquer dois pontos
e
nesse intervalo e para qualquer
entre 0 e 1, temos:
Isso basicamente diz que a linha que une dois pontos na curva está sempre acima ou sobre a própria curva.
Passo 3
Agora, vamos assumir que
é convexa e mostrar que
é monótona crescente. Segundo a dica, vamos tomar
e considerar uma pequena variação
tendendo a 0.
Primeiro, definimos os pontos da terna como
,
, e
. Aplicando a definição de convexidade:
Simplificando e rearranjando termos, e depois fazendo
, obtemos que a derivada em
é menor ou igual à derivada em
:
Isso mostra que
é crescente.
Passo 4
Agora, para provar a outra direção, ou seja, se
é monótona crescente, então
é convexa, vamos usar o teorema do valor médio. Esse teorema nos diz que para qualquer
, existe um
em
tal que:
Como
é crescente, temos que:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo, já que
):
Dividindo tudo por
:
Isso satisfaz a definição de convexidade da função
.
Resposta
Portanto, mostramos que uma função diferenciável
é convexa se e somente se sua derivada
é monótona crescente no intervalo
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável, mostre que: Se
é duas vezes diferenciável no
, então
é convexa se, e somente se,
para todo
. Dica: Lembre que se
é monótona crescente então
.
Seja
uma função diferenciável com
para todo
. Defina
e mostre que é possível escolher
suficientemente pequeno para que
seja uma função bijetiva. Dica: mostre que
é diferenciável, e que
que é positivo, portanto
será monótona crescente e consequentemente bijetiva.
Seja
uma função
vezes diferenciável tal que
é continua em
para
. Suponha
par,
, para
, e
, então
é um mínimo local para
. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem
para
com
.
Seja
uma função diferenciável, mostre que: Se
então
é monótona estritamente crescente no
, em particular existe uma função inversa
;