Seja
uma função diferenciável, mostre que: Se
é duas vezes diferenciável no
, então
é convexa se, e somente se,
para todo
. Dica: Lembre que se
é monótona crescente então
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma função
que é diferenciável duas vezes no intervalo
. A gente precisa mostrar que
é convexa se, e só se, a segunda derivada de
, que é
, é maior ou igual a zero para todo
em
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades das funções monótonas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função convexa. Uma função é convexa se, para qualquer dois pontos no seu gráfico, a linha que liga esses pontos fica acima ou no próprio gráfico da função. Isso está relacionado à curvatura da função.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre derivadas. A primeira derivada,
, nos dá a inclinação da função em cada ponto. Se a segunda derivada,
, é positiva, isso significa que a inclinação está aumentando, ou seja, a função está “curvando para cima”. Isso é uma característica de funções convexas.
Passo 4
A dica da questão fala que se
é monótona crescente, então
. Vamos entender isso: se a derivada primeira está sempre aumentando, isso significa que a taxa de variação da inclinação está positiva ou neutra. Portanto, a função não está “virando para baixo”, mantendo a convexidade.
Passo 5
Para mostrar a equivalência, precisamos provar os dois sentidos:
- Se
, então é convexa. - Se
é convexa, então .
No primeiro sentido, como
implica que
é crescente, e isso implica que a função é convexa. No segundo sentido, se a função é convexa, a inclinação não diminui, então a segunda derivada deve ser não negativa.
Resposta
Portanto, mostramos que a função
é convexa se, e somente se, sua segunda derivada
é maior ou igual a zero para todo
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável com
para todo
. Defina
e mostre que é possível escolher
suficientemente pequeno para que
seja uma função bijetiva. Dica: mostre que
é diferenciável, e que
que é positivo, portanto
será monótona crescente e consequentemente bijetiva.
Usando diretamente a definição de diferenciabilidade mostre que são diferenciáveis as funções
e
. Usando diferenciabilidade das operações aritméticas conclua que
, para
e conclua que toda função polinomial é diferenciável (portanto contínua).
Seja
uma função diferenciável, mostre que:
é convexa se, e somente se,
é monótona crescente no
; Dica: Usando a convexidade, tome
e a terna
e faça
. Depois tome a terna
e faça
. Conclua que
. Para a volta use o teorema do valor médio.
Seja
uma função
vezes diferenciável tal que
é continua em
para
. Suponha
par,
, para
, e
, então
é um mínimo local para
. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem
para
com
.