Seja uma função diferenciável, mostre que: Se é duas vezes diferenciável no , então é convexa se, e somente se, para todo . Dica: Lembre que se é monótona crescente então .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma função que é diferenciável duas vezes no intervalo . A gente precisa mostrar que é convexa se, e só se, a segunda derivada de , que é , é maior ou igual a zero para todo em . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e propriedades das funções monótonas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função convexa. Uma função é convexa se, para qualquer dois pontos no seu gráfico, a linha que liga esses pontos fica acima ou no próprio gráfico da função. Isso está relacionado à curvatura da função.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre derivadas. A primeira derivada, , nos dá a inclinação da função em cada ponto. Se a segunda derivada, , é positiva, isso significa que a inclinação está aumentando, ou seja, a função está “curvando para cima”. Isso é uma característica de funções convexas.

Passo 4

A dica da questão fala que se é monótona crescente, então . Vamos entender isso: se a derivada primeira está sempre aumentando, isso significa que a taxa de variação da inclinação está positiva ou neutra. Portanto, a função não está “virando para baixo”, mantendo a convexidade.

Passo 5

Para mostrar a equivalência, precisamos provar os dois sentidos:
  1. Se , então é convexa.
  2. Se é convexa, então .
No primeiro sentido, como implica que é crescente, e isso implica que a função é convexa. No segundo sentido, se a função é convexa, a inclinação não diminui, então a segunda derivada deve ser não negativa.

Resposta

Portanto, mostramos que a função é convexa se, e somente se, sua segunda derivada é maior ou igual a zero para todo .

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