Seja y = x^3 / (x^2 + 1)^2. Obtenha y' de dois modos: usando a derivação logarítmica.

Passo 1

Beleza, temos a função . A gente precisa achar a derivada dessa função, ou seja, . Vamos fazer isso de duas formas: primeiro usando a derivação logarítmica e depois com o método tradicional.

Passo 2

Vamos começar com a derivação logarítmica. Esse método é bem útil quando a função é uma fração ou tem potências complicadas, porque simplifica a diferenciação.

Passo 3

Primeiro, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados da equação:

Passo 4

Usando as propriedades dos logaritmos, a gente separa os termos:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é :

Passo 6

Simplificando a expressão:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, substituímos pela função original:

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:

Resposta

A derivada da função é:

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