Seja uma função. Mostre que se é uma inversa à esquerda para e é uma inversa à direita para , então as funções são iguais.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma função e duas funções e . A função é uma inversa à esquerda de e é uma inversa à direita de . Nosso objetivo é mostrar que e são iguais. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções inversas e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser uma inversa à esquerda e à direita. Uma função é uma inversa à esquerda de se , onde é a função identidade em . Isso significa que aplicar após retorna o elemento original de .

Passo 3

Analogamente, uma função é uma inversa à direita de se , onde é a função identidade em . Isso significa que aplicar após retorna o elemento original de .

Passo 4

Vamos começar mostrando que . Pela definição de como inversa à esquerda, sabemos que para todo ,
Isso confirma que desfaz a ação de em .

Passo 5

Agora, vamos utilizar sendo uma inversa à direita. Sabemos que para todo ,
Isso mostra que desfaz a ação de em .

Passo 6

Queremos provar que . Para isso, tomemos um elemento arbitrário . Podemos aplicar e em e comparar os resultados.

Passo 7

Observe que:
usando a propriedade de ser inversa à esquerda.

Passo 8

Como , temos:
Portanto,

Resposta

Concluímos que , ou seja, as funções e são iguais.

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