Seja
uma função. Mostre que se
é uma inversa à esquerda para
e
é uma inversa à direita para
, então as funções
são iguais.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma função
e duas funções
e
. A função
é uma inversa à esquerda de
e
é uma inversa à direita de
. Nosso objetivo é mostrar que
e
são iguais. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções inversas e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser uma inversa à esquerda e à direita. Uma função
é uma inversa à esquerda de
se
, onde
é a função identidade em
. Isso significa que aplicar
após
retorna o elemento original de
.
Passo 3
Analogamente, uma função
é uma inversa à direita de
se
, onde
é a função identidade em
. Isso significa que aplicar
após
retorna o elemento original de
.
Passo 4
Vamos começar mostrando que
. Pela definição de
como inversa à esquerda, sabemos que para todo
,
Isso confirma que
desfaz a ação de
em
.
Passo 5
Agora, vamos utilizar
sendo uma inversa à direita. Sabemos que para todo
,
Isso mostra que
desfaz a ação de
em
.
Passo 6
Queremos provar que
. Para isso, tomemos um elemento arbitrário
. Podemos aplicar
e
em
e comparar os resultados.
Passo 7
Observe que:
usando a propriedade de
ser inversa à esquerda.
Passo 8
Como
, temos:
Portanto,
Resposta
Concluímos que
, ou seja, as funções
e
são iguais.
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Usando a Regra da Cadeia, calcule
, sendo dadas:
;
Obtenha
, sendo
dada por:
;
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, sendo dadas:
;
Seja
. Obtenha
de dois modos: usando a regra do quociente;