Seja
. Obtenha
de dois modos: usando a regra do quociente;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a derivada dessa função usando a regra do quociente. Para isso, precisamos lembrar como aplicar essa regra e identificar as partes da função que correspondem ao numerador e denominador.
Passo 2
A regra do quociente é usada para derivar funções que são o quociente de duas outras funções. A fórmula é:
Aqui, identificamos
e
. Vamos precisar das derivadas de
e
para aplicar a regra.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
-
Derivada de
: Essa é uma derivada básica de uma potência, onde trazemos o expoente para frente e diminuímos o poder em 1. -
Derivada de
: Aqui, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Primeiro, consideramos, então . A derivada de em relação a é: Primeiro, derivamos a parte externaque dá , e depois multiplicamos pela derivada interna .
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente usando as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
-
Expanda os termos:
-
Coloque
em evidência: -
Simplifique dentro do parêntese:
-
Substitua de volta:
Agora, a derivada fica:
Resposta
A derivada de
é:
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Usando a Regra da Cadeia, calcule
, sendo dadas:
;
Seja
uma função. Mostre que se
é uma inversa à esquerda para
e
é uma inversa à direita para
, então as funções
são iguais.
Usando a Regra da Cadeia, calcule
, sendo dadas:
;
Seja
. Obtenha
de dois modos: usando a derivação logarítmica.