Seja . Obtenha de dois modos: usando a regra do quociente;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a derivada dessa função usando a regra do quociente. Para isso, precisamos lembrar como aplicar essa regra e identificar as partes da função que correspondem ao numerador e denominador.

Passo 2

A regra do quociente é usada para derivar funções que são o quociente de duas outras funções. A fórmula é:
Aqui, identificamos e . Vamos precisar das derivadas de e para aplicar a regra.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
  1. Derivada de :
    Essa é uma derivada básica de uma potência, onde trazemos o expoente para frente e diminuímos o poder em 1.
  2. Derivada de :
    Aqui, usamos a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função. Primeiro, consideramos , então . A derivada de em relação a é:
    Primeiro, derivamos a parte externa que dá , e depois multiplicamos pela derivada interna .

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente usando as derivadas que encontramos:
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Expanda os termos:
  2. Coloque em evidência:
  3. Simplifique dentro do parêntese:
  4. Substitua de volta:
Agora, a derivada fica:

Resposta

A derivada de é:

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Usando a Regra da Cadeia, calcule , sendo dadas: ;
Seja uma função. Mostre que se é uma inversa à esquerda para e é uma inversa à direita para , então as funções são iguais.
Usando a Regra da Cadeia, calcule , sendo dadas: ;
Seja . Obtenha de dois modos: usando a derivação logarítmica.