Seja uma função sobrejetora. Dados , definimos se, e somente se, ou . Mostre que é uma relação de equivalência sobre , cujas classes de equivalências são as imagens inversas de . Além disso, mostre que se , então a função definida como é bijetora e , em que é a função definida como . A relação chama-se o núcleo de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de funções e relações de equivalência! Basicamente, a gente tem uma função que é sobrejetora, ou seja, cada elemento em tem pelo menos um correspondente em . O problema pede para a gente mostrar que uma certa relação definida por se e somente se é uma relação de equivalência. Além disso, precisamos mostrar que certas funções relacionadas a são bijetoras. Para isso, vamos precisar entender bem o que são relações de equivalência, classes de equivalência e funções bijetoras.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que é uma relação de equivalência em . Para isso, precisamos verificar três propriedades: reflexividade, simetria e transitividade.
Reflexividade: Para todo , temos que . Logo, .
Simetria: Se , então . Isso implica que , ou seja, .
Transitividade: Se e , então e . Consequentemente, , logo .
Como todas as três propriedades são satisfeitas, é realmente uma relação de equivalência sobre .
Passo 3
Agora, vamos identificar as classes de equivalência dessa relação. Uma classe de equivalência é o conjunto de todos os elementos em que estão relacionados a por . Ou seja,
Portanto, cada classe de equivalência é exatamente a imagem inversa de . Isso significa que as classes de equivalência são os conjuntos que agrupam todos os elementos de que mapeiam para o mesmo elemento em através de .
Passo 4
Vamos agora considerar a função definida por . Queremos mostrar que é bijetora, ou seja, que ela é injetora (cada classe de equivalência mapeia para um elemento único em ) e sobrejetora (todos os elementos de são alcançados por algum ).
Injetividade: Suponha que . Isso significa que , o que, pela definição de , implica que . Logo, é injetora.
Sobrejetividade: Como é sobrejetora, para todo , existe pelo menos um tal que . Portanto, para essa classe de equivalência , garantindo que é sobrejetora.
Como é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é bijetora.
Passo 5
Por último, vamos mostrar que , onde é a função definida por . Isso significa que para todo ,
De fato, pela definição de , temos . Assim, pode ser decomposta como a composição de e , ou seja, .
Resposta
Mostramos que é uma relação de equivalência sobre , onde as classes de equivalência são as inversas de . Além disso, a função definida por é bijetora e satisfaz , com definida por . Portanto, é o núcleo de .