Sejam uma função e uma relação de equivalência sobre determinada por . Mostre que se, e somente se, implica que , para todos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que, para uma função e uma relação de equivalência definida por , a condição é verdadeira se e somente se, sempre que está na classe de equivalência de (escrito ), então também está na classe de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são relações de equivalência, composição de funções e condições de idempotência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. É uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva. Quando temos uma relação de equivalência sobre um conjunto , ela divide em classes de equivalência, onde todos os elementos de uma classe estão relacionados entre si.

Passo 3

A composição de funções significa aplicar a função duas vezes. Ou seja, . A condição quer dizer que aplicar duas vezes é a mesma coisa que aplicar uma vez, o que chamamos de função idempotente.

Passo 4

Vamos começar mostrando que se , então se , então . Suponha que . Como , pela definição de classe de equivalência, está relacionado a , então deve também estar relacionado a . Isso porque aplicar novamente não muda a relação devido à idempotência.

Passo 5

Agora, vamos mostrar o contrário: se sempre que , então , isso implica que . Ou seja, se ao aplicar um elemento da classe de ainda pertence à classe de , então aplicar duas vezes não muda nada, já que a segunda aplicação de mantém o elemento na mesma classe. Portanto, .

Resposta

Assim, mostramos que se, e somente se, sempre que , então para todo .

Exercícios relacionados

Seja uma função sobrejetora. Dados , definimos se, e somente se, ou . Mostre que é uma relação de equivalência sobre , cujas classes de equivalências são as imagens inversas de . Além disso, mostre que se , então a função definida como é bijetora e , em que é a função definida como . A relação chama-se o núcleo de .
Suponha que . Calcule:
b) .
Seja operador linear de rotação de uma ângulo em torno do eixo definido por
Mostre que é um operador ortogonal e verifique que transforma bases ortonormais em bases ortonormais.
Seja . Dados , definimos
é um conjunto finito. Mostre que é uma relação de equivalência sobre .