Seja S a superfície obtida girando-se o segmento de reta que une os pontos (1,0,1) e (0,0,3) em torno do eixo z. Considere S orientada com normal que tem terceira componente não negativa. Se f: R^3 R é uma função de classe C^2, então o fluxo de F(x, y, z)=(partial fpartial y(x, y, z),-partial fpartial x(x, y, z), 1) através de S é:

Passo 1

Beleza! Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e quais conceitos precisamos usar para resolver.
Resumo do enunciado: Temos uma superfície gerada ao girar o segmento de reta que une os pontos e em torno do eixo . Queremos calcular o fluxo do campo vetorial através dessa superfície. A normal escolhida para deve ter a componente não negativa. A função é de classe , ou seja, tem derivadas contínuas até a segunda ordem.
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, e possivelmente o Teorema da Divergência para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a superfície . O segmento de reta vai de a no espaço tridimensional. Ao girar esse segmento em torno do eixo , criamos uma superfície de revolução que, nesse caso, é um cone truncado (ou um cono conoidal).

Passo 3

Queremos calcular o fluxo , onde é o vetor normal à superfície . Observando o campo , notamos que ele possui as derivadas parciais de uma função nas primeiras duas componentes, e uma constante na terceira.
Uma abordagem inteligente aqui é utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada à divergência do campo dentro do volume delimitado por essa superfície. Porém, nossa superfície não está fechada, então precisamos criar uma superfície fechada adicionando os “bases” da superfície .

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo nabla cdot F = partialpartial x( partial fpartial y ) + partialpartial y( -partial fpartial x ) + partialpartial z(1) :
nabla cdot F = partial^2 fpartial x partial y - partial^2 fpartial y partial x + 0 = 0
Simplificando:
Isso porque as derivadas mistas de se cancelam.

Passo 5

Como a divergência de integral duplapartial V F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV = 0 é zero, isso simplifica nosso trabalho com o Teorema da Divergência:
integral duplaS F cdot n , dS + integral duplaD1 F cdot n , dS + integral duplaD2 F cdot n , dS = 0
Aqui, integral duplaS F cdot n , dS = - ( integral duplaD1 F cdot n , dS + integral duplaD2 F cdot n , dS ) é a superfície fechada que forma o limite do volume . No nosso caso, , onde e são os discos que fecham a superfície nas bases e , respectivamente.
Então:
Dessa forma:

Passo 6

Vamos calcular os fluxos através dos discos F cdot n = (partial fpartial y, -partial fpartial x, 1) cdot (0, 0, -1) = -1 e integral duplaD1 F cdot n , dS = integral duplaD1 (-1) , dS = -Área(D1) .
Para Área(D1) = pi times 1^2 = pi (base inferior em integral duplaD1 F cdot n , dS = -pi ):
A normal F cdot n = (partial fpartial y, -partial fpartial x, 1) cdot (0, 0, 1) = 1 aponta para baixo, então integral duplaD2 F cdot n , dS = integral duplaD2 1 , dS = Área(D2) .
O campo Área(D2) = 0 nesse disco é integral duplaD2 F cdot n , dS = 0 .
Então:
O fluxo é:
Á
A área de é , com :
Á
Portanto:
Para (base superior em ):
A normal aponta para cima, então .
O campo é o mesmo:
O fluxo é:
Á
No caso, como o ponto superior é , o raio nesse plano é zero, ou seja, a área de é :
Á
Portanto:

Passo 7

Voltando à equação inicial:
integral duplaS F cdot n , dS = - ( integral duplaD1 F cdot n , dS + integral duplaD2 F cdot n , dS ) = - ( -pi + 0 ) = pi

Resposta

O fluxo de através da superfície é .

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