Seja
a superfície obtida girando-se o segmento de reta que une os pontos
e
em torno do eixo
. Considere
orientada com normal que tem terceira componente não negativa. Se
é uma função de classe
, então o fluxo de
através de
é:
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e quais conceitos precisamos usar para resolver.
Resumo do enunciado: Temos uma superfície
gerada ao girar o segmento de reta que une os pontos
e
em torno do eixo
. Queremos calcular o fluxo do campo vetorial
através dessa superfície. A normal escolhida para
deve ter a componente
não negativa. A função
é de classe
, ou seja, tem derivadas contínuas até a segunda ordem.
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, e possivelmente o Teorema da Divergência para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície
. O segmento de reta vai de
a
no espaço tridimensional. Ao girar esse segmento em torno do eixo
, criamos uma superfície de revolução que, nesse caso, é um cone truncado (ou um cono conoidal).
Passo 3
Queremos calcular o fluxo
, onde
é o vetor normal à superfície
. Observando o campo
, notamos que ele possui as derivadas parciais de uma função
nas primeiras duas componentes, e uma constante na terceira.
Uma abordagem inteligente aqui é utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada à divergência do campo dentro do volume delimitado por essa superfície. Porém, nossa superfície
não está fechada, então precisamos criar uma superfície fechada adicionando os “bases” da superfície
.
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo
:
Simplificando:
Isso porque as derivadas mistas de
se cancelam.
Passo 5
Como a divergência de
é zero, isso simplifica nosso trabalho com o Teorema da Divergência:
Aqui,
é a superfície fechada que forma o limite do volume
. No nosso caso,
, onde
e
são os discos que fecham a superfície
nas bases
e
, respectivamente.
Então:
Dessa forma:
Passo 6
Vamos calcular os fluxos através dos discos
e
.
Para
(base inferior em
):
A normal
aponta para baixo, então
.
O campo
nesse disco é
.
Então:
O fluxo é:
A área de
é
, com
:
Portanto:
Para
(base superior em
):
A normal
aponta para cima, então
.
O campo
é o mesmo:
O fluxo é:
No caso, como o ponto superior é
, o raio nesse plano é zero, ou seja, a área de
é
:
Portanto:
Passo 7
Voltando à equação inicial:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.