Seja a superfície obtida girando-se o segmento de reta que une os pontos e em torno do eixo . Considere orientada com normal que tem terceira componente não negativa. Se é uma função de classe , então o fluxo de através de é:
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e quais conceitos precisamos usar para resolver.
Resumo do enunciado: Temos uma superfície gerada ao girar o segmento de reta que une os pontos e em torno do eixo . Queremos calcular o fluxo do campo vetorial através dessa superfície. A normal escolhida para deve ter a componente não negativa. A função é de classe , ou seja, tem derivadas contínuas até a segunda ordem.
Conteúdo da matéria: Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, e possivelmente o Teorema da Divergência para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a superfície . O segmento de reta vai de a no espaço tridimensional. Ao girar esse segmento em torno do eixo , criamos uma superfície de revolução que, nesse caso, é um cone truncado (ou um cono conoidal).
Passo 3
Queremos calcular o fluxo , onde é o vetor normal à superfície . Observando o campo , notamos que ele possui as derivadas parciais de uma função nas primeiras duas componentes, e uma constante na terceira.
Uma abordagem inteligente aqui é utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada à divergência do campo dentro do volume delimitado por essa superfície. Porém, nossa superfície não está fechada, então precisamos criar uma superfície fechada adicionando os “bases” da superfície .
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo :
Simplificando:
Isso porque as derivadas mistas de se cancelam.
Passo 5
Como a divergência de é zero, isso simplifica nosso trabalho com o Teorema da Divergência:
Aqui, é a superfície fechada que forma o limite do volume . No nosso caso, , onde e são os discos que fecham a superfície nas bases e , respectivamente.
Então:
Dessa forma:
Passo 6
Vamos calcular os fluxos através dos discos e .
Para (base inferior em ):
A normal aponta para baixo, então .
O campo nesse disco é .
Então:
O fluxo é:
A área de é , com :
Portanto:
Para (base superior em ):
A normal aponta para cima, então .
O campo é o mesmo:
O fluxo é:
No caso, como o ponto superior é , o raio nesse plano é zero, ou seja, a área de é :