Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral x^2+xx^3-x^2+x-1 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
integral x^2+xx^3-x^2+x-1 , dx
Para resolver essa integral, vamos usar o método das frações parciais, que é uma técnica da álgebra utilizada para decompor frações racionais em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

O primeiro passo é fatorar o denominador da fração, ou seja, escrever o polinômio
x^3 - x^2 + x - 1
como um produto de fatores menores. Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio. Testando 1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 :
x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 1)
Como substituindo x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 1) o polinômio resulta em zero, sabemos que é um fator. Agora, vamos dividir o polinômio por para encontrar os demais fatores:
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original usando frações parciais. Queremos encontrar constantes x^2 + x(x - 1)(x^2 + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + 1 , e tais que:

Passo 4

Para encontrar os valores de x^2 + x = A(x^2 + 1) + (Bx + C)(x - 1) , x^2 + x = A x^2 + A + Bx^2 - Bx + Cx - C e x^2 + x = (A + B)x^2 + (-B + C)x + (A - C) , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (-B + A) + (A + B) = 2A = 2 Rightarrow A = 1 :
1 + B = 1 Rightarrow B = 0
Expandindo os termos do lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Coeficiente de :
  2. Coeficiente de :
  3. Termo constante:
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação:
  • Substituindo na segunda equação:
  • E na primeira equação:
Somando as duas últimas equações:
Então, . Substituindo na primeira equação:
Portanto, os valores são , e .

Passo 5

Agora podemos reescrever a fração original com os valores encontrados:
x^2 + x(x - 1)(x^2 + 1) = 1x - 1 + 0x + 1x^2 + 1 = 1x - 1 + 1x^2 + 1
Agora, vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
integral 1x - 1 , dx + integral 1x^2 + 1 , dx
A primeira integral é uma integral logarítmica e a segunda é uma integral que resulta na função arctangente.
Integrando:
integral 1x - 1 , dx = ln|x - 1|
integral 1x^2 + 1 , dx = arctan(x)

Resposta

Portanto, a integral original é:
integral x^2 + xx^3 - x^2 + x - 1 , dx = ln|x - 1| + arctan(x) + C
onde é a constante de integração.

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