Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral
Para resolver essa integral, vamos usar o método das frações parciais, que é uma técnica da álgebra utilizada para decompor frações racionais em termos mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
O primeiro passo é fatorar o denominador da fração, ou seja, escrever o polinômio
como um produto de fatores menores. Vamos tentar encontrar as raízes desse polinômio. Testando
:
Como substituindo
o polinômio resulta em zero, sabemos que
é um fator. Agora, vamos dividir o polinômio por
para encontrar os demais fatores:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, podemos escrever a fração original usando frações parciais. Queremos encontrar constantes
,
e
tais que:
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Expandindo os termos do lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo o sistema:
- Da terceira equação:
- Substituindo na segunda equação:
- E na primeira equação:
Somando as duas últimas equações:
Então,
. Substituindo na primeira equação:
Portanto, os valores são
,
e
.
Passo 5
Agora podemos reescrever a fração original com os valores encontrados:
Agora, vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
A primeira integral é uma integral logarítmica e a segunda é uma integral que resulta na função arctangente.
Integrando:
Resposta
Portanto, a integral original é:
onde
é a constante de integração.