Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de usando o método das frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração complicada em partes menores que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações e conhecer um pouquinho sobre integrais de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Esse polinômio é irreversível nos números reais, ou seja, não conseguimos fatorá-lo em polinômios de primeiro grau com coeficientes reais. Por isso, vamos considerar que nossa fração já está na forma mais simples para aplicar as frações parciais.
Passo 3
Como o denominador está ao quadrado, nossa decomposição de frações parciais vai ter termos para cada potência do denominador. A forma geral será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir o lado direito:
Passo 5
Agora, vamos organizar os termos por ordem de potência de :
Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação: 4A = 0 Rightarrow A = 0
Da segunda equação: 4B = 0 Rightarrow B = 0
Da terceira equação: 9A + C = 0 Rightarrow C = -9A = 0 (já que A = 0)
Da quarta equação: 9B + D = 18 Rightarrow D = 18 (já que B = 0)
Passo 7
Com os valores encontrados, nossa decomposição fica:
Parece que a decomposição não simplificou a integral. Isso acontece porque, neste caso, a fração já está na forma mais simples para integração.
Passo 8
Como a decomposição pelas frações parciais não nos ajudou a simplificar a integral, vamos usar uma substituição simples para resolver a integral:
integral 18(4x^2+9)^2 , dx
Vamos fazer a substituição:
u = 4x^2 + 9 du = 8x , dx
No entanto, percebemos que não temos um termo com x no numerador, o que indica que essa substituição direta não funcionará. Então, vamos buscar uma forma de reescrever a integral.
Passo 9
Observando que a derivada de 4x^2 + 9 é 8x, que não está presente no numerador, vamos ajustar a constante para facilitar:
integral 18(4x^2+9)^2 , dx = 1816 integral 8(4x^2+9)^2 , dx = 98 integral 8(4x^2+9)^2 , dx
Agora, temos:
98 integral 8(4x^2+9)^2 , dx
Passo 10
Usando uma tabela de integrais ou conhecendo a integral de 1(ax^2 + b)^2, temos:
integral dx(ax^2 + b)^2 = x2b(ax^2 + b) + 14b^3/2 arctan(raizaxraizb) + C