Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de usando o método das frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração complicada em partes menores que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações e conhecer um pouquinho sobre integrais de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Esse polinômio é irreversível nos números reais, ou seja, não conseguimos fatorá-lo em polinômios de primeiro grau com coeficientes reais. Por isso, vamos considerar que nossa fração já está na forma mais simples para aplicar as frações parciais.
Passo 3
Como o denominador está ao quadrado, nossa decomposição de frações parciais vai ter termos para cada potência do denominador. A forma geral será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir o lado direito:
Passo 5
Agora, vamos organizar os termos por ordem de potência de :
Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Da terceira equação: (já que )
Da quarta equação: (já que )
Passo 7
Com os valores encontrados, nossa decomposição fica:
Parece que a decomposição não simplificou a integral. Isso acontece porque, neste caso, a fração já está na forma mais simples para integração.
Passo 8
Como a decomposição pelas frações parciais não nos ajudou a simplificar a integral, vamos usar uma substituição simples para resolver a integral:
Vamos fazer a substituição:
No entanto, percebemos que não temos um termo com no numerador, o que indica que essa substituição direta não funcionará. Então, vamos buscar uma forma de reescrever a integral.
Passo 9
Observando que a derivada de é , que não está presente no numerador, vamos ajustar a constante para facilitar:
Agora, temos:
Passo 10
Usando uma tabela de integrais ou conhecendo a integral de , temos: