Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral 18(4 x^2+9)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de 18(4x^2+9)^2 , dx usando o método das frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração complicada em partes menores que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações e conhecer um pouquinho sobre integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: (4x^2 + 9)^2. Esse polinômio é irreversível nos números reais, ou seja, não conseguimos fatorá-lo em polinômios de primeiro grau com coeficientes reais. Por isso, vamos considerar que nossa fração já está na forma mais simples para aplicar as frações parciais.

Passo 3

Como o denominador está ao quadrado, nossa decomposição de frações parciais vai ter termos para cada potência do denominador. A forma geral será:
18(4x^2+9)^2 = Ax + B4x^2+9 + Cx + D(4x^2+9)^2
Aqui, A, B, C e D são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por (4x^2+9)^2 para eliminar os denominadores:
18 = (Ax + B)(4x^2+9) + (Cx + D)
Agora, vamos expandir o lado direito:
18 = A x (4x^2+9) + B (4x^2+9) + Cx + D 18 = 4A x^3 + 9A x + 4B x^2 + 9B + Cx + D

Passo 5

Agora, vamos organizar os termos por ordem de potência de x:
4A x^3 + 4B x^2 + (9A + C) x + (9B + D) = 18
Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
4A = 0 4B = 0 9A + C = 0 9B + D = 18

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação: 4A = 0 Rightarrow A = 0
  2. Da segunda equação: 4B = 0 Rightarrow B = 0
  3. Da terceira equação: 9A + C = 0 Rightarrow C = -9A = 0 (já que A = 0)
  4. Da quarta equação: 9B + D = 18 Rightarrow D = 18 (já que B = 0)

Passo 7

Com os valores encontrados, nossa decomposição fica:
18(4x^2+9)^2 = 0x + 04x^2+9 + 0x + 18(4x^2+9)^2 18(4x^2+9)^2 = 18(4x^2+9)^2
Parece que a decomposição não simplificou a integral. Isso acontece porque, neste caso, a fração já está na forma mais simples para integração.

Passo 8

Como a decomposição pelas frações parciais não nos ajudou a simplificar a integral, vamos usar uma substituição simples para resolver a integral:
integral 18(4x^2+9)^2 , dx
Vamos fazer a substituição:
u = 4x^2 + 9 du = 8x , dx
No entanto, percebemos que não temos um termo com x no numerador, o que indica que essa substituição direta não funcionará. Então, vamos buscar uma forma de reescrever a integral.

Passo 9

Observando que a derivada de 4x^2 + 9 é 8x, que não está presente no numerador, vamos ajustar a constante para facilitar:
integral 18(4x^2+9)^2 , dx = 1816 integral 8(4x^2+9)^2 , dx = 98 integral 8(4x^2+9)^2 , dx
Agora, temos:
98 integral 8(4x^2+9)^2 , dx

Passo 10

Usando uma tabela de integrais ou conhecendo a integral de 1(ax^2 + b)^2, temos:
integral dx(ax^2 + b)^2 = x2b(ax^2 + b) + 14b^3/2 arctan(raizaxraizb) + C
Aplicando isso à nossa integral:
98 [ x2 cdot 9 (4x^2 + 9) + 14 cdot 9^3/2 arctan(2x3) ] + C

Passo 11

Simplificando os coeficientes:
98 [ x18 (4x^2 + 9) + 14 cdot 27 arctan(2x3) ] + C = 98 cdot x18 (4x^2 + 9) + 98 cdot 1108 arctan(2x3) + C = x16 (4x^2 + 9) + 196 arctan(2x3) + C

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
integral 18(4x^2+9)^2 , dx = x16 (4x^2 + 9) + 196 arctan(2x3) + C
Onde C é a constante de integração.

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