Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de usando o método das frações parciais. Isso significa que vamos quebrar essa fração complicada em partes menores que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações e conhecer um pouquinho sobre integrais de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Esse polinômio é irreversível nos números reais, ou seja, não conseguimos fatorá-lo em polinômios de primeiro grau com coeficientes reais. Por isso, vamos considerar que nossa fração já está na forma mais simples para aplicar as frações parciais.

Passo 3

Como o denominador está ao quadrado, nossa decomposição de frações parciais vai ter termos para cada potência do denominador. A forma geral será:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir o lado direito:

Passo 5

Agora, vamos organizar os termos por ordem de potência de :
Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação: (já que )
  4. Da quarta equação: (já que )

Passo 7

Com os valores encontrados, nossa decomposição fica:
Parece que a decomposição não simplificou a integral. Isso acontece porque, neste caso, a fração já está na forma mais simples para integração.

Passo 8

Como a decomposição pelas frações parciais não nos ajudou a simplificar a integral, vamos usar uma substituição simples para resolver a integral:
Vamos fazer a substituição:
No entanto, percebemos que não temos um termo com no numerador, o que indica que essa substituição direta não funcionará. Então, vamos buscar uma forma de reescrever a integral.

Passo 9

Observando que a derivada de é , que não está presente no numerador, vamos ajustar a constante para facilitar:
Agora, temos:

Passo 10

Usando uma tabela de integrais ou conhecendo a integral de , temos:
Aplicando isso à nossa integral:

Passo 11

Simplificando os coeficientes:

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Seja definida em e seja um real dado. Suponha que . Calcule
(a)
(b)
Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: