Utilize o exercício acima para concluir que se um objeto possui função velocidade
, com
contínua, e posição inicial
, então sua função posição
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que se um objeto tem uma função de velocidade
contínua e uma posição inicial
, então a função posição
é dada por:
Vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente o conceito de integração, que relaciona a velocidade com a posição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função velocidade
. Ela nos diz quão rápido a posição do objeto está mudando em cada instante de tempo
. Se a velocidade é contínua, isso significa que não temos saltos ou interrupções na função, o que facilita o uso da integração.
Passo 3
A posição
do objeto em um tempo
pode ser obtida acumulando todas as pequenas mudanças de posição que ocorrem ao longo do tempo. Matematicamente, isso é feito integrando a função velocidade desde o tempo inicial (no caso, 0) até o tempo
.
Passo 4
A integração é como somar infinitas pequenas parcelas. Então, ao integrar
de 0 até
, estamos somando todas as mudanças de posição que aconteceram desde o início até o tempo
. A letra
aqui é apenas uma variável de integração que representa o tempo durante o intervalo de 0 a
.
Passo 5
Não podemos esquecer da posição inicial
. Isso porque estamos partindo de uma posição específica no tempo inicial (quando
). Então, a posição final
será a posição inicial mais todas as mudanças de posição acumuladas pela integração da velocidade.
Passo 6
Juntando tudo isso, temos que a posição no tempo
é igual à posição inicial
mais a integral de
de 0 até
:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
uma função contínua. Mostre que
é uma solução para a equação diferencial
com condição inicial
.
Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Tente, mesmo que informalmente, justificar suas respostas.
Como o resultado de uma integral é uma área, então o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0 .
Como o resultado de uma integral é uma área, então o resultado de uma integral sempre é maior ou igual a 0 .
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
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Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
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