Use série binomial e o fato de que
para gerar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para . Qual é o raio de convergência?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a série binomial e a derivada de seno para encontrar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para a função arcseno, ou seja, . Além disso, temos que descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor, séries binomiais e como derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin) é uma maneira de expressar a função como uma soma infinita de termos polinomiais. No caso do , queremos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os primeiros quatro coeficientes , , e que não são zero.

Passo 3

Sabemos que a derivada de é dada por:
Isso é importante porque a função do seno e seu inverso, o arcseno, estão relacionados através das séries de Taylor.

Passo 4

Agora, vamos usar a série binomial para expandir . A série binomial para é:
No nosso caso, temos:
Então, aplicando a série binomial:

Passo 5

Calculando os primeiros termos da série:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a série fica:

Passo 6

Agora, para encontrar a série de Taylor do , integramos cada termo da série acima em relação a :
Integrando termo a termo:
Então, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor para são:

Passo 7

Para encontrar o raio de convergência dessa série, observamos que ela foi derivada da série binomial de , que converge quando , ou seja, quando . Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

Os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para são:
E o raio de convergência dessa série é igual a 1.

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(a)
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