Use série binomial e o fato de que
para gerar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para
. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a série binomial e a derivada de seno para encontrar os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para a função arcseno, ou seja,
. Além disso, temos que descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor, séries binomiais e como derivar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função em torno de 0 (também chamada de série de Maclaurin) é uma maneira de expressar a função como uma soma infinita de termos polinomiais. No caso do
, queremos escrever:
Nosso objetivo é encontrar os primeiros quatro coeficientes
,
,
e
que não são zero.
Passo 3
Sabemos que a derivada de
é dada por:
Isso é importante porque a função do seno e seu inverso, o arcseno, estão relacionados através das séries de Taylor.
Passo 4
Agora, vamos usar a série binomial para expandir
. A série binomial para
é:
No nosso caso, temos:
Então, aplicando a série binomial:
Passo 5
Calculando os primeiros termos da série:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a série fica:
Passo 6
Agora, para encontrar a série de Taylor do
, integramos cada termo da série acima em relação a
:
Integrando termo a termo:
Então, os primeiros quatro termos diferentes de zero da série de Taylor para
são:
Passo 7
Para encontrar o raio de convergência dessa série, observamos que ela foi derivada da série binomial de
, que converge quando
, ou seja, quando
. Portanto, o raio de convergência é 1.
Resposta
Os quatro primeiros termos diferentes de zero da série de Taylor para
são:
E o raio de convergência dessa série é igual a 1.
Exercícios relacionados
Para quais valores positivos de
você pode substituir
por
com um erro que não ultrapasse
do valor de
?
Seja
a função definida por
Determine a série de Maclaurin para
e mostre que ela converge para todos os valores de
, mas que ela representa
somente se
.
Use uma série de potências para calcular, com precisão de quatro casas decimais, o valor da quantidade dada.
(a)
(a)
Verifique que
é solução de
.