Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
(b) Existem as derivadas
e
?
(b) Existem as derivadas
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida para todos os números reais
de maneira diferente dependendo de
. A função é
quando
e
quando
. O que a pergunta quer saber é se existem as derivadas laterais de
no ponto
, ou seja, se
e
existem. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada lateral e como calcular essas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas laterais. A derivada à direita de uma função em um ponto
, denotada por
, é o limite da taxa de variação da função conforme
se aproxima de
pela direita. Matemáticamente, é:
Da mesma forma, a derivada à esquerda,
, considera
se aproximando de
pela esquerda:
Passo 3
Vamos calcular primeiro a derivada à esquerda em
, ou seja,
. Para
,
. A derivada dessa parte da função é simplesmente a derivada de
, que é
. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada à direita em
,
. Para
,
, que é uma função constante. A derivada de uma função constante é sempre zero, então:
Resposta
Sim, ambas as derivadas laterais existem. A derivada à esquerda em
é
e a derivada à direita é
.
Exercícios relacionados
Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
(a) Calcule
(a) Calcule
Em cada caso, encontre a derivada da função
, usando a definição.
©
©
Seja
a função dada por
.
(a) Existe ?
(a) Existe
Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
© é derivável em
?
©