Seja a função definida em por: , para , e , para .
(b) Existem as derivadas e ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida para todos os números reais de maneira diferente dependendo de . A função é quando e quando . O que a pergunta quer saber é se existem as derivadas laterais de no ponto , ou seja, se e existem. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de derivada lateral e como calcular essas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas laterais. A derivada à direita de uma função em um ponto , denotada por , é o limite da taxa de variação da função conforme se aproxima de pela direita. Matemáticamente, é:
Da mesma forma, a derivada à esquerda, , considera se aproximando de pela esquerda:

Passo 3

Vamos calcular primeiro a derivada à esquerda em , ou seja, . Para , . A derivada dessa parte da função é simplesmente a derivada de , que é . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada à direita em , . Para , , que é uma função constante. A derivada de uma função constante é sempre zero, então:

Resposta

Sim, ambas as derivadas laterais existem. A derivada à esquerda em é e a derivada à direita é .

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Seja a função definida em por: , para , e , para .
(a) Calcule
Em cada caso, encontre a derivada da função , usando a definição.
©
Seja a função dada por .
(a) Existe ?
Seja a função definida em por: , para , e , para .
© é derivável em ?