Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma técnica de cálculo que nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes: e . Isso facilita a aplicação da derivada em cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira parte, . Aqui, temos uma função composta: o seno de . A regra da cadeia nos diz que precisamos derivar a função externa (o seno) e multiplicar pela derivada da função interna ( ).
A derivada de é vezes a derivada de . No nosso caso, .
Então:

Passo 4

Agora, vamos derivar a segunda parte, . Aqui, também temos uma função composta: elevada ao quadrado. Podemos reescrever isso como para facilitar a visualização.
Aplicando a regra da cadeia novamente, a derivada de é vezes a derivada de , onde .
Então:

Passo 5

Agora que temos as derivadas de ambas as partes, basta somá-las para obter a derivada total da função original.

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo:
Seja uma função derivável num ponto . Calcule .
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: $(\sqrt{x+\sqrt{x}})