Seja
uma função diferenciável de uma variável e seja
. Mostre que:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que depende de uma única variável, e definimos
. O objetivo é mostrar que a combinação das derivadas parciais de
em relação a
e
satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Como
onde
, pela regra da cadeia, temos:
Sabendo que
, isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando novamente a regra da cadeia:
Desta vez,
, então:
Passo 4
Agora, substituímos as derivadas que encontramos na expressão que queremos provar:
Assim, mostramos que:
Resposta
Portanto, foi demonstrado que
.
Exercícios relacionados
Use formas apropriadas da regra da cadeia para encontrar as derivadas.
a) Seja . Encontre
e
;
b) Sejam . Encontre
e
;
c) Seja , onde
. Encontre
e
;
d) Seja . Determine
e
a) Seja
b) Sejam
c) Seja
d) Seja
Fatore as expressões.
.
Suponha que
e que
e
sejam funções diferenciáveis de
com
,
e
quando
. Então
quando
.
Fatore as expressões, colocando algum termo em evidência.
.