Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja z=f(x+2 y). Mostre que:
2 partial zpartial x-partial zpartial y=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função 2 partial zpartial x - partial zpartial y = 0 que depende de uma única variável, e definimos . O objetivo é mostrar que a combinação das derivadas parciais de em relação a e satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = f'(u) cdot partial upartial x em relação a partial zpartial x = f'(x + 2y) cdot 1 = f'(x + 2y) . Como onde , pela regra da cadeia, temos:
Sabendo que , isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = f'(u) cdot partial upartial y em relação a partial zpartial y = f'(x + 2y) cdot 2 = 2f'(x + 2y) . Usando novamente a regra da cadeia:
Desta vez, , então:

Passo 4

Agora, substituímos as derivadas que encontramos na expressão que queremos provar:
2 partial zpartial x - partial zpartial y = 2f'(x + 2y) - 2f'(x + 2y) = 0
Assim, mostramos que:
2 partial zpartial x - partial zpartial y = 0

Resposta

Portanto, foi demonstrado que .

Exercícios relacionados

Use formas apropriadas da regra da cadeia para encontrar as derivadas.
a) Seja T=x^2 y-x y^3+2 ; x=r cos theta, y=r sen theta. Encontre partial T / partial r e partial T / partial theta;
b) Sejam t=u / v ; u=x^2-y^2, v=4 x y^3. Encontre partial t / partial x e partial t / partial y;
c) Seja z=ln (x^2+1), onde x=r cos theta. Encontre partial z / partial r e partial z / partial theta;
d) Seja w=4 x^2+4 y^2+z^2, x=rho sen theta cos varphi, y=rho sen varphi sen theta, z=rho cos varphi. Determine partial w / partial rho, partial w / partial varphi e partial w / partial theta
Fatore as expressões.
x^2 - y^2.
Suponha que z = x * y^2 e que x e y sejam funções diferenciáveis de t com x = 1, y = -1, dx/dt = -2 e dy/dt = 3 quando t = -1. Então dz/dt \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 quando t = -1.
Fatore as expressões, colocando algum termo em evidência.
2x^2 - 8x + 8.