Use formas apropriadas da regra da cadeia para encontrar as derivadas.
a) Seja T=x^2 y-x y^3+2 ; x=r cos theta, y=r sen theta. Encontre partial T / partial r e partial T / partial theta;
b) Sejam t=u / v ; u=x^2-y^2, v=4 x y^3. Encontre partial t / partial x e partial t / partial y;
c) Seja z=ln (x^2+1), onde x=r cos theta. Encontre partial z / partial r e partial z / partial theta;
d) Seja w=4 x^2+4 y^2+z^2, x=rho sen theta cos varphi, y=rho sen varphi sen theta, z=rho cos varphi. Determine partial w / partial rho, partial w / partial varphi e partial w / partial theta

Passo 1

Vamos resolver o item a) do exercício. A questão trata da Regra da Cadeia em derivadas parciais. Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , dado que e são funções de e . Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia multivariável, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função T = x^2 y - x y^3 + 2 e as expressões de x = r cos theta e y = r sen theta :

Passo 3

Para encontrar partial Tpartial r = partial Tpartial x partial xpartial r + partial Tpartial y partial ypartial r e partial Tpartial theta = partial Tpartial x partial xpartial theta + partial Tpartial y partial ypartial theta , aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de partial Tpartial x = 2xy - y^3 em relação a partial Tpartial y = x^2 - 3xy^2 e :

Passo 5

Agora, encontramos as derivadas de partial xpartial r = cos theta e partial ypartial r = sen theta em relação a partial xpartial theta = -r sen theta e partial ypartial theta = r cos theta :

Passo 6

Substituímos todas as derivadas na expressão da regra da cadeia:
Para partial Tpartial r = (2xy - y^3) cos theta + (x^2 - 3xy^2) sen theta :
Para partial Tpartial theta = (2xy - y^3)(-r sen theta) + (x^2 - 3xy^2) r cos theta :

Passo 7

Substituímos partial Tpartial r = (2(r cos theta)(r sen theta) - (r sen theta)^3) cos theta + ((r cos theta)^2 - 3(r cos theta)(r sen theta)^2) sen theta e nas expressões acima:
Para partial Tpartial r = (2r^2 cos theta sen theta - r^3 sen^3 theta) cos theta + (r^2 cos^2 theta - 3r^3 cos theta sen^2 theta) sen theta :
Simplificando:
Para partial Tpartial theta = [2(r cos theta)(r sen theta) - (r sen theta)^3](-r sen theta) + [(r cos theta)^2 - 3(r cos theta)(r sen theta)^2] r cos theta :
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, simplificamos as expressões para obter uma forma mais compacta:
Para partial Tpartial r = 2r^2 cos^2 theta sen theta - r^3 cos theta sen^3 theta + r^2 cos^2 theta sen theta - 3r^3 cos theta sen^3 theta :
Para partial Tpartial r = (2r^2 cos^2 theta sen theta + r^2 cos^2 theta sen theta) - (r^3 cos theta sen^3 theta + 3r^3 cos theta sen^3 theta) :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Fatore as expressões.
x^2 - y^2.
Suponha que z=x / y, onde x e y são funções diferenciáveis de u e v tais que x=3, y=1, partial x / partial u=4, partial x / partial v=-2, partial y / partial u=1 e partial y / partial v=-1 quando u=2 e v=1. Se u=2 e v=1, então partial z / partial u= e partial z / partial v= cdot
Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja z=f(x+2 y). Mostre que:
2 partial zpartial x-partial zpartial y=0
Suponha que z = x * y^2 e que x e y sejam funções diferenciáveis de t com x = 1, y = -1, dx/dt = -2 e dy/dt = 3 quando t = -1. Então dz/dt \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 quando t = -1.