Use formas apropriadas da regra da cadeia para encontrar as derivadas.
a) Seja
. Encontre
e
;
b) Sejam
. Encontre
e
;
c) Seja
, onde
. Encontre
e
;
d) Seja
. Determine
e
a) Seja
b) Sejam
c) Seja
d) Seja
Passo 1
Vamos resolver o item a) do exercício. A questão trata da Regra da Cadeia em derivadas parciais. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, dado que
e
são funções de
e
. Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia multivariável, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
e as expressões de
e
:
Passo 3
Para encontrar
e
, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, encontramos as derivadas de
e
em relação a
e
:
Passo 6
Substituímos todas as derivadas na expressão da regra da cadeia:
Para
:
Para
:
Passo 7
Substituímos
e nas expressões acima:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Passo 8
Finalmente, simplificamos as expressões para obter uma forma mais compacta:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Fatore as expressões.
.
Suponha que
, onde
e
são funções diferenciáveis de
e
tais que
e
quando
e
. Se
e
, então
e
Seja
uma função diferenciável de uma variável e seja
. Mostre que:
Suponha que
e que
e
sejam funções diferenciáveis de
com
,
e
quando
. Então
quando
.