Suponha que
e que
e
sejam funções diferenciáveis de
com
,
e
quando
. Então
quando
.
Passo 1
Vamos resolver o problema onde temos a função
. Aqui,
e
são funções que dependem de
, ou seja,
e
. O objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, representada por
, no ponto onde
. Para resolver isso, vamos usar a regra da derivada para funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão para
quando
. Para derivar
em relação a
, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de
será:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
Substituindo esses valores na expressão de
:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
Quando
,
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável de uma variável e seja
. Mostre que:
Use formas apropriadas da regra da cadeia para encontrar as derivadas.
a) Seja . Encontre
e
;
b) Sejam . Encontre
e
;
c) Seja , onde
. Encontre
e
;
d) Seja . Determine
e
a) Seja
b) Sejam
c) Seja
d) Seja
Fatore as expressões, colocando algum termo em evidência.
.
Encontre
e