Suponha que z = x * y^2 e que x e y sejam funções diferenciáveis de t com x = 1, y = -1, dx/dt = -2 e dy/dt = 3 quando t = -1. Então dz/dt \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 quando t = -1.

Passo 1

Vamos resolver o problema onde temos a função . Aqui, e são funções que dependem de , ou seja, e . O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , representada por , no ponto onde . Para resolver isso, vamos usar a regra da derivada para funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão para quando . Para derivar em relação a , aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de será:
Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo de volta na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
Substituindo esses valores na expressão de :
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

Quando , .

Exercícios relacionados

Seja f uma função diferenciável de uma variável e seja z=f(x+2 y). Mostre que:
2 partial zpartial x-partial zpartial y=0
Use formas apropriadas da regra da cadeia para encontrar as derivadas.
a) Seja T=x^2 y-x y^3+2 ; x=r cos theta, y=r sen theta. Encontre partial T / partial r e partial T / partial theta;
b) Sejam t=u / v ; u=x^2-y^2, v=4 x y^3. Encontre partial t / partial x e partial t / partial y;
c) Seja z=ln (x^2+1), onde x=r cos theta. Encontre partial z / partial r e partial z / partial theta;
d) Seja w=4 x^2+4 y^2+z^2, x=rho sen theta cos varphi, y=rho sen varphi sen theta, z=rho cos varphi. Determine partial w / partial rho, partial w / partial varphi e partial w / partial theta
Fatore as expressões, colocando algum termo em evidência.
2x^2 - 8x + 8.
Encontre fx, fy e fz
f(x, y, z) = e^(-x y z)