Suponha que z = x * y^2 e que x e y sejam funções diferenciáveis de t com x = 1, y = -1, dx/dt = -2 e dy/dt = 3 quando t = -1. Então dz/dt \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 quando t = -1.

Passo 1

Vamos resolver o problema onde temos a função . Aqui, e são funções que dependem de , ou seja, e . O objetivo é encontrar a derivada de em relação a , representada por , no ponto onde . Para resolver isso, vamos usar a regra da derivada para funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão para quando . Para derivar em relação a , aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia. A derivada de será:
Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo de volta na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
Substituindo esses valores na expressão de :
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

Quando , .

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