(4) Seja e g funcés reais tais que e . Calcule a área da regiño delimitada por If g säs funcoss reais con dominio .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta duas funções reais: e . Nossa missão é calcular a área da região que fica entre essas duas curvas no domínio dos números reais. Para isso, precisamos entender conceitos de interseção de curvas e cálculo de integrais para encontrar áreas entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas funções se encontram, ou seja, encontrar os pontos de interseção. Para isso, igualamos e :

Passo 3

Resolvendo a equação , trazemos todos os termos para um lado:
Fatorando a equação:

Passo 4

As soluções dessa equação são:
Então, as funções se intersectam nos pontos e .

Passo 5

Agora, para encontrar a área entre as duas curvas de a , usamos a fórmula da área entre curvas:
Á
Aqui, e . Precisamos identificar qual função está acima da outra nesse intervalo.

Passo 6

Vamos comparar e para entre 0 e 2:
  • Para : e . Aqui, .
  • Para : e . Aqui, também .
Portanto, está acima de nesse intervalo.

Passo 7

Substituindo na fórmula da área:
Á

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.

Passo 9

Aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas funções e é unidades quadradas.

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a)
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