Seja S a região delimitada pelos planos coordenados e planos x = 1, y = 1 e z = 1. Calcular, com base no teorema da Divergência, o fluxo do campo f = (2x - z) i + x^2 j - x z^2 k, através da superficies S fronteira de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a fronteira da região delimitada pelos planos coordenados e pelos planos , e . Vamos usar o Teorema da Divergência para resolver isso. Para isso, precisamos entender o que é divergência e como aplicá-la em integrais triplas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , e . Vamos derivar cada componente:
  • (porque não tem y)
Então, a divergência é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência, que diz que o fluxo do campo através da superfície fechada é igual à integral tripla da divergência de sobre a região :
Nossa região é um cubo com arestas de 0 a 1 nos eixos , e . Então, vamos configurar a integral tripla:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Como os limites são de 0 a 1 para todas as variáveis, podemos integrar uma de cada vez.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo através da superfície é .

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