Seja f: X Y uma função. Prove que:
f^-1(f(A))=A qualquer que seja A subset X se e somente se f injetiva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, para uma função , a igualdade vale para todo subconjunto de se e somente se a função for injetiva. Isso envolve entender conceitos de funções injetivas e operações com conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetiva. Uma função é injetiva se elementos diferentes de são mapeados para elementos diferentes de . Em outras palavras, se então .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa e . é a imagem de através de , ou seja, todos os onde está em . Já é o conjunto de todos os elementos de que são mapeados para algum elemento de .

Passo 4

Vamos começar provando que se é injetiva, então .
Como é injetiva:
  • Se está em , então está em , então está em (logo, ).
  • Se está em , então está em , ou seja, existe algum em tal que . Como é injetiva, , ou seja, está em (logo, ).
Assim, .

Passo 5

Agora, precisamos provar a outra direção: se para todo , então é injetiva.
Vamos supor que não é injetiva. Então, existem em com . Seja . Então:
  • .
  • .
Mas , o que contraria a condição dada. Portanto, a função deve ser injetiva.

Resposta

Assim, provamos que para todo se e somente se for injetiva.

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