Seja
uma função. Prove que:
qualquer que seja
se e somente se
injetiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, para uma função
, a igualdade
vale para todo subconjunto
de
se e somente se a função
for injetiva. Isso envolve entender conceitos de funções injetivas e operações com conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetiva. Uma função
é injetiva se elementos diferentes de
são mapeados para elementos diferentes de
. Em outras palavras, se
então
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa
e
.
é a imagem de
através de
, ou seja, todos os
onde
está em
. Já
é o conjunto de todos os elementos de
que são mapeados para algum elemento de
.
Passo 4
Vamos começar provando que se
é injetiva, então
.
Como
é injetiva:
- Se
está em , então está em , então está em (logo, ). - Se
está em , então está em , ou seja, existe algum em tal que . Como é injetiva, , ou seja, está em (logo, ).
Assim,
.
Passo 5
Agora, precisamos provar a outra direção: se
para todo
, então
é injetiva.
Vamos supor que
não é injetiva. Então, existem
em
com
. Seja
. Então:
-
. -
.
Mas
, o que contraria a condição dada. Portanto, a função
deve ser injetiva.
Resposta
Assim, provamos que
para todo
se e somente se
for injetiva.