Verifique se
é um espaço vetorial verificando os seguintes itens:
(b) Fechamento sob multiplicação escalar.
(b) Fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto
, que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo
, é um espaço vetorial. Especificamente, vamos checar o item (b): fechamento sob multiplicação escalar. Isso significa que, se a gente pegar qualquer função contínua nesse conjunto e multiplicar por um número (escalar), o resultado também deve ser uma função contínua no mesmo intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é multiplicação escalar. É quando a gente pega uma função
e multiplica por um número real
, resultando em
. A gente precisa garantir que essa nova função
ainda seja contínua em
.
Passo 3
Sabemos que a continuidade de uma função depende do comportamento dela em pequenos intervalos. Multiplicar a função por um escalar
não muda essa propriedade, porque a multiplicação por um número real mantém a suavidade e a ausência de “quebras” na função.
Passo 4
Formalmente, se
é contínua em
, então para todo
, a função
também é contínua em
. Isso acontece porque a operação de multiplicação por um escalar é uma transformação linear que preserva a continuidade.
Passo 5
Portanto, mostramos que multiplicar qualquer função contínua no conjunto
por um escalar resulta em outra função contínua no mesmo conjunto. Isso confirma o fechamento sob multiplicação escalar.
Resposta
Sim,
é fechado sob multiplicação escalar, ou seja, se
e
é um escalar, então
.