Verifique se C[0,1] é um espaço vetorial verificando os seguintes itens:
(b) Fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o conjunto , que é o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo , é um espaço vetorial. Especificamente, vamos checar o item (b): fechamento sob multiplicação escalar. Isso significa que, se a gente pegar qualquer função contínua nesse conjunto e multiplicar por um número (escalar), o resultado também deve ser uma função contínua no mesmo intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é multiplicação escalar. É quando a gente pega uma função e multiplica por um número real , resultando em . A gente precisa garantir que essa nova função ainda seja contínua em .

Passo 3

Sabemos que a continuidade de uma função depende do comportamento dela em pequenos intervalos. Multiplicar a função por um escalar não muda essa propriedade, porque a multiplicação por um número real mantém a suavidade e a ausência de “quebras” na função.

Passo 4

Formalmente, se é contínua em , então para todo , a função também é contínua em . Isso acontece porque a operação de multiplicação por um escalar é uma transformação linear que preserva a continuidade.

Passo 5

Portanto, mostramos que multiplicar qualquer função contínua no conjunto por um escalar resulta em outra função contínua no mesmo conjunto. Isso confirma o fechamento sob multiplicação escalar.

Resposta

Sim, é fechado sob multiplicação escalar, ou seja, se e é um escalar, então .

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