Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função , definida por , é linear. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente estudando transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz as duas propriedades de linearidade: adição e escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e no espaço e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
Adição:
Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para nossa função .
Passo 3
Vamos começar pela adição. Pegue duas matrizes quaisquer e em . Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Sabemos que a multiplicação de matrizes distribui sobre a adição, então:
Portanto, satisfaz a propriedade de adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Pegue um escalar e uma matriz em . Precisamos checar se:
Calculando o lado esquerdo:
A multiplicação de uma matriz por um escalar pode ser associada:
Logo, também satisfaz a propriedade escalar.
Resposta
Como satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a propriedade escalar, concluímos que é uma transformação linear.