Seja definida por , onde
Mostre que é linear;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função , definida por , é linear. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente estudando transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz as duas propriedades de linearidade: adição e escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e no espaço e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para nossa função .

Passo 3

Vamos começar pela adição. Pegue duas matrizes quaisquer e em . Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Sabemos que a multiplicação de matrizes distribui sobre a adição, então:
Portanto, satisfaz a propriedade de adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Pegue um escalar e uma matriz em . Precisamos checar se:
Calculando o lado esquerdo:
A multiplicação de uma matriz por um escalar pode ser associada:
Logo, também satisfaz a propriedade escalar.

Resposta

Como satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a propriedade escalar, concluímos que é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
ãéãéé
Encontre a inversa de cada matriz abaixo:
a.
Seja um número natural e considere a matriz
Sabendo-se que , determine .
Resposta.:
Seja uma matriz inversível tal que
Quais são os possíveis valores para ?
Resposta: 1 e