Seja
definida por
, onde
Mostre que
é linear;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
, definida por
, é linear. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente estudando transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se
satisfaz as duas propriedades de linearidade: adição e escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
e
no espaço e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para nossa função
.
Passo 3
Vamos começar pela adição. Pegue duas matrizes quaisquer
e
em
. Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Sabemos que a multiplicação de matrizes distribui sobre a adição, então:
Portanto,
satisfaz a propriedade de adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Pegue um escalar
e uma matriz
em
. Precisamos checar se:
Calculando o lado esquerdo:
A multiplicação de uma matriz por um escalar pode ser associada:
Logo,
também satisfaz a propriedade escalar.
Resposta
Como
satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a propriedade escalar, concluímos que
é uma transformação linear.