Seja F: M2 times 2(R) longrightarrow M2 times 2(R) definida por F(A)=M A, onde
M=(cc 1 & 1 3 & -2 )
Mostre que F é linear;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função , definida por , é linear. Isso está no campo da Álgebra Linear, especificamente estudando transformações lineares entre espaços vetoriais. Para resolver, vamos verificar se satisfaz as duas propriedades de linearidade: adição e escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação ser linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores e no espaço e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para nossa função .

Passo 3

Vamos começar pela adição. Pegue duas matrizes quaisquer F(A + B) = F(A) + F(B) e F(A + B) = M cdot (A + B) em M cdot (A + B) = M cdot A + M cdot B = F(A) + F(B) . Queremos ver se:
Calculando o lado esquerdo:
Sabemos que a multiplicação de matrizes distribui sobre a adição, então:
Portanto, satisfaz a propriedade de adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar a propriedade escalar. Pegue um escalar F(cA) = cF(A) e uma matriz F(cA) = M cdot (cA) em M cdot (cA) = c(M cdot A) = cF(A) . Precisamos checar se:
Calculando o lado esquerdo:
A multiplicação de uma matriz por um escalar pode ser associada:
Logo, também satisfaz a propriedade escalar.

Resposta

Como satisfaz tanto a propriedade de adição quanto a propriedade escalar, concluímos que é uma transformação linear.

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