Seja n um número natural e considere a matriz
A=(ccc n & 1 & 1 n+5 & n & 5 -5 & -3 & -2 )
Sabendo-se que det(A)=9, determine n.
Resposta.: n=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre determinantes de matrizes 3x3. A gente precisa calcular o determinante da matriz A e encontrar o valor de que faz esse determinante ser igual a 9.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Uma forma legal de fazer isso é usando a Regra de Sarrus, que facilita bastante o processo. A Regra de Sarrus envolve escrever as duas primeiras colunas novamente à direita da matriz original e então somar os produtos das diagonais principais e subtrair os produtos das diagonais secundárias.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de Sarrus na matriz A:
A = n & 1 & 1 n+5 & n & 5 -5 & -3 & -2
Escrevendo as duas primeiras colunas novamente:
ccc|cc n & 1 & 1 & n & 1 n+5 & n & 5 & n+5 & n -5 & -3 & -2 & -5 & -3
Agora, calculamos as diagonais principais:
n cdot n cdot (-2) = -2n^2
1 cdot 5 cdot (-5) = -25
1 cdot (n+5) cdot (-3) = -3(n+5) = -3n -15
E as diagonais secundárias:
1 cdot n cdot (-5) = -5n
n cdot 5 cdot (-2) = -10n
1 cdot (n+5) cdot (-3) = -3n -15
Agora, somamos as diagonais principais e subtraímos as secundárias:
Determinante = (-2n^2) + (-25) + (-3n -15) - [(-5n) + (-10n) + (-3n -15)]
Simplificando:
Determinante = -2n^2 -25 -3n -15 + 5n +10n +3n +15
Determinante = -2n^2 + ( -3n +5n +10n +3n ) + (-25 -15 +15)
Determinante = -2n^2 +15n -25

Passo 4

Sabemos que o determinante é igual a 9, então montamos a equação:
-2n^2 +15n -25 = 9
Vamos resolver essa equação:
-2n^2 +15n -25 -9 = 0
-2n^2 +15n -34 = 0
Multiplicando a equação por -1 para facilitar:
2n^2 -15n +34 = 0
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
n = -b pm raizb^2 -4ac2a
Onde De, e .
Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais para . Porém, como no enunciado já foi dado que é um número natural e a resposta é , pode ter havido um erro na aplicação da Regra de Sarrus. Vamos revisar os cálculos ou tentar outro método, como a expansão por menores.

Passo 5

Vamos calcular o determinante usando a expansão de Laplace pela primeira linha:
det(A) = n cdot det n & 5 -3 & -2 - 1 cdot det n+5 & 5 -5 & -2 + 1 cdot det n+5 & n -5 & -3
Calculando os menores:
det n & 5 -3 & -2 = n(-2) - 5(-3) = -2n +15
det n+5 & 5 -5 & -2 = (n+5)(-2) -5(-5) = -2n -10 +25 = -2n +15
det n+5 & n -5 & -3 = (n+5)(-3) -n(-5) = -3n -15 +5n = 2n -15
Agora, substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A) = n(-2n +15) -1(-2n +15) +1(2n -15)
Expandindo:
det(A) = -2n^2 +15n +2n -15 +2n -15
Simplificando:
det(A) = -2n^2 +19n -30
Igualando a 9:
-2n^2 +19n -30 = 9
-2n^2 +19n -39 = 0
Multiplicando por -1:
2n^2 -19n +39 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
n = 19 pm raiz361 - 3124 = 19 pm raiz494 = 19 pm74
As soluções são:
n = 19 +74 = 264 = 6.5
n = 19 -74 = 124 =3
Como deve ser um número natural, a solução válida é .

Resposta

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