Beleza, vamos resolver esse exercício que é sobre determinantes de matrizes 3x3. A gente precisa calcular o determinante da matriz A e encontrar o valor de que faz esse determinante ser igual a 9.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. Uma forma legal de fazer isso é usando a Regra de Sarrus, que facilita bastante o processo. A Regra de Sarrus envolve escrever as duas primeiras colunas novamente à direita da matriz original e então somar os produtos das diagonais principais e subtrair os produtos das diagonais secundárias.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de Sarrus na matriz A:
Escrevendo as duas primeiras colunas novamente:
Agora, calculamos as diagonais principais:
E as diagonais secundárias:
Agora, somamos as diagonais principais e subtraímos as secundárias:
Simplificando:
Passo 4
Sabemos que o determinante é igual a 9, então montamos a equação:
Vamos resolver essa equação:
Multiplicando a equação por -1 para facilitar:
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ():
Como o discriminante é negativo, não há soluções reais para . Porém, como no enunciado já foi dado que é um número natural e a resposta é , pode ter havido um erro na aplicação da Regra de Sarrus. Vamos revisar os cálculos ou tentar outro método, como a expansão por menores.
Passo 5
Vamos calcular o determinante usando a expansão de Laplace pela primeira linha:
Calculando os menores:
Agora, substituindo de volta na expressão do determinante:
Expandindo:
Simplificando:
Igualando a 9:
Multiplicando por -1:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como deve ser um número natural, a solução válida é .