Seja M uma matriz 3 times 3 inversível tal que
det(2 M^2)-det(raiz[3]2 M^3)=29 det(3 M)
Quais são os possíveis valores para det(M^-1) ?
Resposta: 1 e 1 / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os possíveis valores de de uma matriz que é inversível. A matéria envolvida aqui é Determinantes de Matrizes e Propriedades de Determinantes. Para resolver, vamos precisar das propriedades de determinantes relacionadas a multiplicação por escalar, potências de matrizes e determinantes de matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da equação dada:
det(2 M^2) - det(raiz[3]2 M^3) = 29 det(3 M)
Para isso, usamos a propriedade que diz que , onde é um escalar e é a ordem da matriz (neste caso, 3).

Passo 3

Vamos calcular det(2 M^2) = 2^3 det(M^2) = 8 (det(M))^2 :
Aqui usamos que .

Passo 4

Agora, vamos calcular det(raiz[3]2 M^3) = (raiz[3]2)^3 det(M^3) = 2 (det(M))^3 :
Simplificamos para 2 e usamos novamente a propriedade dos determinantes para potências de matrizes.

Passo 5

Agora, vamos calcular det(3 M) = 3^3 det(M) = 27 det(M) :
Usamos a mesma propriedade para multiplicação por escalar.

Passo 6

Substituindo essas expressões na equação original:
8 (det(M))^2 - 2 (det(M))^3 = 29 times 27 det(M)
Simplificamos para 6.

Passo 7

A equação fica:
8 (det(M))^2 - 2 (det(M))^3 = 6 det(M)
Vamos reorganizar os termos para facilitar:
2 (det(M))^3 - 8 (det(M))^2 + 6 det(M) = 0

Passo 8

Fatorando 2 det(M) ((det(M))^2 - 4 det(M) + 3) = 0 da equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. (Mas é inversível, então )

Passo 9

Resolvendo a equação quadrática:
(det(M))^2 - 4 det(M) + 3 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
det(M) = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Isso dá:
det(M) = 3 ou det(M) = 1

Passo 10

Queremos encontrar det(M^-1) = 1det(M) . Sabemos que:
Então, substituindo os valores encontrados:
  1. Se , então
  2. Se , então

Resposta

Os possíveis valores para são e .

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