Seja
uma matriz
inversível tal que
Quais são os possíveis valores para
?
Resposta: 1 e
Resposta: 1 e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar os possíveis valores de
de uma matriz
que é inversível. A matéria envolvida aqui é Determinantes de Matrizes e Propriedades de Determinantes. Para resolver, vamos precisar das propriedades de determinantes relacionadas a multiplicação por escalar, potências de matrizes e determinantes de matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada termo da equação dada:
Para isso, usamos a propriedade que diz que
, onde
é um escalar e
é a ordem da matriz (neste caso, 3).
Passo 3
Vamos calcular
:
Aqui usamos que
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Simplificamos
para 2 e usamos novamente a propriedade dos determinantes para potências de matrizes.
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Usamos a mesma propriedade para multiplicação por escalar.
Passo 6
Substituindo essas expressões na equação original:
Simplificamos
para 6.
Passo 7
A equação fica:
Vamos reorganizar os termos para facilitar:
Passo 8
Fatorando
da equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
-
⇒ (Mas é inversível, então ) -
Passo 9
Resolvendo a equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Isso dá:
Passo 10
Queremos encontrar
. Sabemos que:
Então, substituindo os valores encontrados:
- Se
, então - Se
, então
Resposta
Os possíveis valores para
são
e
.