Sejam A e C matrizes n times n inversíveis tais que det(In+C^-1 A)=1 / 3 e det(A)=5. Sabendo-se que B=3(A^-1+C^-1)^T, então o determinante de B é igual a:
d. 3^n-15

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas matrizes quadradas e de dimensão que são invertíveis. Nos foi dado que o determinante de é e que o determinante de é 5. Precisamos encontrar o determinante da matriz .
Vamos usar propriedades de determinantes e matrizes inversas para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz. Então,
det(B) = det(3(A^-1 + C^-1)^T) = det(3(A^-1 + C^-1))

Passo 3

Agora, sabemos que multiplicar uma matriz por um escalar det(3(A^-1 + C^-1)) = 3^n det(A^-1 + C^-1) multiplicará o determinante por , onde é a dimensão da matriz. Assim,

Passo 4

Vamos focar em calcular A^-1 + C^-1 = A^-1(In + A C^-1) . Podemos fatorar det(A^-1 + C^-1) = det(A^-1) det(In + A C^-1) de dentro:
Então, o determinante disso é:

Passo 5

Sabemos que det(In + C^-1 A) = 13 . Além disso, temos uma relação dada no enunciado:
det(A^-1 + C^-1) = 15 times 13 = 115
Observe que . Portanto,

Passo 6

Agora, voltando ao determinante de det(B) = 3^n times 115 = 3^n15 = 3^n-15 :

Resposta

O determinante de é igual a .

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