Verificar se os conjuntos são subespaços :
V=(x, y, z, t) / z=x-2 y e t=2 x do R^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Isso está relacionado ao estudo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três condições fundamentais que definem um subespaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial deve satisfazer três propriedades:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em :
O vetor zero em é .
Vamos ver se satisfaz as equações de :
  • ✔️
  • ✔️
Então, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se é fechado sob adição:
Sejam e em . Então:
  • e
  • e
Vamos adicionar e verificar se pertence a :
Portanto, satisfaz as condições de , então é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja em e um escalar. Então:
Vamos multiplicar por : .
Agora, verificamos se satisfaz as equações de :
Assim, as condições são mantidas:
  • O novo componente satisfaz
  • O novo componente satisfaz
Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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