Verificar se os conjuntos são subespaços :
do
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Isso está relacionado ao estudo de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três condições fundamentais que definem um subespaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de um espaço vetorial
deve satisfazer três propriedades:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
.
Vamos ver se
satisfaz as equações de
:
-
✔️ -
✔️
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Sejam
e
em
. Então:
-
e -
e
Vamos adicionar
e verificar se pertence a
:
Portanto,
satisfaz as condições de
, então
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja
em
e
um escalar. Então:
Vamos multiplicar
por
:
.
Agora, verificamos se
satisfaz as equações de
:
Assim, as condições são mantidas:
- O novo componente
satisfaz - O novo componente
satisfaz
Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Verifique que a curva
, e a curva
são congruentes. Obtenha a isometria
tal que
.
Seja
uma aplicação diferenciável, tal que
preserva produto interno. Prove que
é uma isometria.
Sejam
curvas regulares, parametrizadas pelo comprimento de arco, tal que, para cada
, a curvatura e a torção de
e
em
não se anulam. Prove que, se os vetores binormais das duas curvas coincidem, isto é,
, então
e
são congruentes.
Verificar se os conjuntos são subespaços :
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