Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: a)
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um conjunto
. O objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos lembrar que, para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado para adição e ser fechado para multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação dada:
Isso confirma que o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que:
Sabemos que:
Somando as duas equações:
Isso mostra que a soma
também satisfaz a equação, portanto está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor
em
e um escalar
, então
também deve estar em
.
Sabendo que:
Sabendo que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim, o vetor
também satisfaz a equação, estando em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.