Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: a) W=(x, y) in R^2 ; 3 x-2 y=0;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um conjunto . O objetivo é verificar se esse conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos lembrar que, para um conjunto ser um subespaço vetorial, ele precisa satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado para adição e ser fechado para multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 3(0) - 2(0) = 0 . O vetor zero em 0 = 0 é . Substituindo na equação dada:
Isso confirma que o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se 3x1 - 2y1 = 0 é fechado para adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer 3x2 - 2y2 = 0 e 3(x1 + x2) - 2(y1 + y2) = 0 em , a soma também deve estar em .
Sabemos que:
Somando as duas equações:
Isso mostra que a soma também satisfaz a equação, portanto está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se 3x - 2y = 0 é fechado para multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor 3(kx) - 2(ky) = k(3x - 2y) = k cdot 0 = 0 em e um escalar , então também deve estar em .
Sabendo que:
Multiplicando ambos os lados por :
Assim, o vetor também satisfaz a equação, estando em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado para adição e para multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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