Seja a função definida por .
(b) Construa o gráfico da função .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que construir o gráfico da função . Isso envolve entender um pouquinho de funções quadráticas e do valor absoluto. Vamos precisar identificar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal e como isso afeta o gráfico. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte dentro do valor absoluto: . Essa é uma função quadrática, e seu gráfico é uma parábola. Para entender melhor, vamos encontrar onde essa expressão é igual a zero, ou seja, resolver .
Passo 3
Resolvendo :
Então, a expressão dentro do valor absoluto é zero nos pontos e . Esses pontos vão ser importantes para entender como o gráfico da função se comporta.
Passo 4
Agora, vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados pelos zeros que encontramos:
Para :
Escolhemos :
Para :
Escolhemos :
Para :
Escolhemos :
Então, é positivo para e , e negativo para .
Passo 5
Como temos o valor absoluto na função , isso significa que sempre vamos ter valores não negativos. Então, onde é negativo, o valor absoluto vai “virar” o gráfico para cima. Vamos então reescrever a função sem o valor absoluto, considerando os intervalos:
Passo 6
Agora, vamos esboçar o gráfico:
Para e : A função segue , que é uma parábola voltada para cima.
Para : A função é , que é uma parábola voltada para baixo.
Vamos traçar esses pedaços, garantindo que nos pontos e , o gráfico seja contínuo.
Passo 7
Vamos identificar alguns pontos chave para plotar:
Vértice da parábola :
Fórmula do vértice:
Vértice da parábola :
Essa é a mesma parábola refletida, então o vértice está em , com
Pontos adicionais:
Para :
Para :
Passo 8
Com esses pontos, conseguimos desenhar o gráfico:
**Desenhamos a parábola para e ( x \geq 2 **:
Passa por , e ,
Desenhamos a parábola para :
Passa pelo vértice e conecta suavemente os pontos e
Resposta
O gráfico da função é composto por duas parábolas: uma voltada para cima nos intervalos e , e outra voltada para baixo no intervalo . Os principais pontos são , , , além de pontos simétricos como e . O gráfico é contínuo e tem a aparência de uma “V” suave no ponto .