Seja a função definida por .
(b) Construa o gráfico da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que construir o gráfico da função . Isso envolve entender um pouquinho de funções quadráticas e do valor absoluto. Vamos precisar identificar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal e como isso afeta o gráfico. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte dentro do valor absoluto: . Essa é uma função quadrática, e seu gráfico é uma parábola. Para entender melhor, vamos encontrar onde essa expressão é igual a zero, ou seja, resolver .

Passo 3

Resolvendo :
Então, a expressão dentro do valor absoluto é zero nos pontos e . Esses pontos vão ser importantes para entender como o gráfico da função se comporta.

Passo 4

Agora, vamos analisar o sinal de nos intervalos determinados pelos zeros que encontramos:
  • Para :
    • Escolhemos :
  • Para :
    • Escolhemos :
  • Para :
    • Escolhemos :
Então, é positivo para e , e negativo para .

Passo 5

Como temos o valor absoluto na função , isso significa que sempre vamos ter valores não negativos. Então, onde é negativo, o valor absoluto vai “virar” o gráfico para cima. Vamos então reescrever a função sem o valor absoluto, considerando os intervalos:

Passo 6

Agora, vamos esboçar o gráfico:
  1. Para e : A função segue , que é uma parábola voltada para cima.
  2. Para : A função é , que é uma parábola voltada para baixo.
Vamos traçar esses pedaços, garantindo que nos pontos e , o gráfico seja contínuo.

Passo 7

Vamos identificar alguns pontos chave para plotar:
  • Vértice da parábola :
    • Fórmula do vértice:
  • Vértice da parábola :
    • Essa é a mesma parábola refletida, então o vértice está em , com
  • Pontos adicionais:
    • Para :
    • Para :

Passo 8

Com esses pontos, conseguimos desenhar o gráfico:
  1. **Desenhamos a parábola para e ( x \geq 2 **:
    • Passa por , e ,
  2. Desenhamos a parábola para :
    • Passa pelo vértice e conecta suavemente os pontos e

Resposta

O gráfico da função é composto por duas parábolas: uma voltada para cima nos intervalos e , e outra voltada para baixo no intervalo . Os principais pontos são , , , além de pontos simétricos como e . O gráfico é contínuo e tem a aparência de uma “V” suave no ponto .

Exercícios relacionados

Seja a função definida por .
(a) Use a definição de módulo para reescrever como uma função definida por partes.
Seja a função definida por .
(a) Use a definição de módulo para reescrever como uma função definida por partes.
Sejam e as funções definidas por e , respectivamente.
(a) Esboçar, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das duas funções.
Sejam e as funções definidas por e , respectivamente.
(e) Observe o gráfico de e responda (intuitivamente) :
(ii) o que ocorre com quando o valor de tende a .