Sejam e as funções definidas por e , respectivamente.
(a) Esboçar, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das duas funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos no mesmo sistema de eixos os gráficos das funções e . Vamos trabalhar com funções exponenciais e logarítmicas para desenhar esses gráficos de jeito que a gente entenda como eles se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função exponencial onde a base é . Sabemos que quando a base de uma função exponencial está entre 0 e 1, a função é decrescente. Ou seja, conforme aumenta, diminui.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função . Essa é uma função logarítmica com base . Quando a base de um logaritmo está entre 0 e 1, a função também é decrescente. Além disso, temos algumas características importantes:
Domínio: , porque o logaritmo só está definido para números positivos.
Interseção com o eixo y: Não existe, porque .
Assíntota vertical: A reta é uma assíntota vertical.
Passo 4
Vamos identificar alguns pontos chave para esboçar os gráficos:
Para :
Quando , .
Quando , .
Quando , .
Para :
Quando , .
Quando , .
Quando , .
Passo 5
Com esses pontos, podemos começar a desenhar:
Função : Começa em e desce lentamente, passando por e , aproximando-se do eixo x, mas nunca o tocando.
Função : Passa por , sobe para a esquerda passando por e , aproximando-se da assíntota vertical em .
Passo 6
Agora, colocamos tudo no mesmo sistema de eixos:
Desenhe o eixo x e y.
Marque os pontos identificados para ambas as funções.
Desenhe as curvas de e conectando os pontos, lembrando que é uma curva exponencial decrescente e é uma curva logarítmica decrescente.
Adicione a assíntota vertical para .
Resposta
Pronto! Com esses passos, você consegue esboçar os gráficos das funções e no mesmo sistema de eixos, visualizando como elas se comportam e se relacionam.