Sejam e as funções definidas por e , respectivamente.
(a) Esboçar, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das duas funções.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos no mesmo sistema de eixos os gráficos das funções e . Vamos trabalhar com funções exponenciais e logarítmicas para desenhar esses gráficos de jeito que a gente entenda como eles se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função exponencial onde a base é . Sabemos que quando a base de uma função exponencial está entre 0 e 1, a função é decrescente. Ou seja, conforme aumenta, diminui.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Essa é uma função logarítmica com base . Quando a base de um logaritmo está entre 0 e 1, a função também é decrescente. Além disso, temos algumas características importantes:
  • Domínio: , porque o logaritmo só está definido para números positivos.
  • Interseção com o eixo y: Não existe, porque .
  • Assíntota vertical: A reta é uma assíntota vertical.

Passo 4

Vamos identificar alguns pontos chave para esboçar os gráficos:
  • Para :
    • Quando , .
    • Quando , .
    • Quando , .
  • Para :
    • Quando , .
    • Quando , .
    • Quando , .

Passo 5

Com esses pontos, podemos começar a desenhar:
  • Função : Começa em e desce lentamente, passando por e , aproximando-se do eixo x, mas nunca o tocando.
  • Função : Passa por , sobe para a esquerda passando por e , aproximando-se da assíntota vertical em .

Passo 6

Agora, colocamos tudo no mesmo sistema de eixos:
  • Desenhe o eixo x e y.
  • Marque os pontos identificados para ambas as funções.
  • Desenhe as curvas de e conectando os pontos, lembrando que é uma curva exponencial decrescente e é uma curva logarítmica decrescente.
  • Adicione a assíntota vertical para .

Resposta

Pronto! Com esses passos, você consegue esboçar os gráficos das funções e no mesmo sistema de eixos, visualizando como elas se comportam e se relacionam.

Exercícios relacionados

Seja a função definida por .
(b) Construa o gráfico da função .
Seja a função definida por .
(a) Use a definição de módulo para reescrever como uma função definida por partes.
Sejam e as funções definidas por e , respectivamente.
(e) Observe o gráfico de e responda (intuitivamente) :
(ii) o que ocorre com quando o valor de tende a .
Resolver as equações a seguir.
(e)