Sejam
e
as funções definidas por
e
, respectivamente.
(a) Esboçar, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das duas funções.
(a) Esboçar, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das duas funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para esboçarmos no mesmo sistema de eixos os gráficos das funções
e
. Vamos trabalhar com funções exponenciais e logarítmicas para desenhar esses gráficos de jeito que a gente entenda como eles se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função exponencial onde a base é
. Sabemos que quando a base de uma função exponencial está entre 0 e 1, a função é decrescente. Ou seja, conforme
aumenta,
diminui.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Essa é uma função logarítmica com base
. Quando a base de um logaritmo está entre 0 e 1, a função também é decrescente. Além disso, temos algumas características importantes:
- Domínio:
, porque o logaritmo só está definido para números positivos. - Interseção com o eixo y: Não existe, porque
. - Assíntota vertical: A reta
é uma assíntota vertical.
Passo 4
Vamos identificar alguns pontos chave para esboçar os gráficos:
- Para
: - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
- Para
: - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, .
- Quando
Passo 5
Com esses pontos, podemos começar a desenhar:
- Função
: Começa em e desce lentamente, passando por e , aproximando-se do eixo x, mas nunca o tocando. - Função
: Passa por , sobe para a esquerda passando por e , aproximando-se da assíntota vertical em .
Passo 6
Agora, colocamos tudo no mesmo sistema de eixos:
- Desenhe o eixo x e y.
- Marque os pontos identificados para ambas as funções.
- Desenhe as curvas de
e conectando os pontos, lembrando que é uma curva exponencial decrescente e é uma curva logarítmica decrescente. - Adicione a assíntota vertical
para .
Resposta
Pronto! Com esses passos, você consegue esboçar os gráficos das funções
e
no mesmo sistema de eixos, visualizando como elas se comportam e se relacionam.