Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . O objetivo é determinar o conjunto imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir quando varia em todos os números reais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto: . Essa é uma função quadrática e representa uma parábola. Para entender melhor como essa função se comporta, vamos completá-la ao quadrado.
Passo 3
Completando o quadrado da expressão :
Isso nos mostra que a parábola tem um vértice no ponto , ou seja, o valor mínimo da função é quando .
Passo 4
Agora, vamos aplicar o valor absoluto à expressão:
Isso significa que estamos refletindo a parte da parábola que está abaixo do eixo para cima. O menor valor que pode assumir é , que ocorre quando . Resolvendo essa equação:
Passo 5
Além disso, quando tende para ou , a expressão também tende para . Como estamos tomando o valor absoluto, também tende para nesses casos.
Passo 6
Com base nisso, vemos que começa no e cresce indefinidamente. Portanto, o conjunto imagem de inclui todos os números reais não negativos.