Seja f: R -> R a função definida por f(x) = |x^2 - 2x|.
© Determine o conjunto imagem de f.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por . O objetivo é determinar o conjunto imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir quando varia em todos os números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro do valor absoluto: . Essa é uma função quadrática e representa uma parábola. Para entender melhor como essa função se comporta, vamos completá-la ao quadrado.

Passo 3

Completando o quadrado da expressão :
Isso nos mostra que a parábola tem um vértice no ponto , ou seja, o valor mínimo da função é quando .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o valor absoluto à expressão:
Isso significa que estamos refletindo a parte da parábola que está abaixo do eixo para cima. O menor valor que pode assumir é , que ocorre quando . Resolvendo essa equação:

Passo 5

Além disso, quando tende para ou , a expressão também tende para . Como estamos tomando o valor absoluto, também tende para nesses casos.

Passo 6

Com base nisso, vemos que começa no e cresce indefinidamente. Portanto, o conjunto imagem de inclui todos os números reais não negativos.

Resposta

O conjunto imagem de é .

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