Skizzieren Sie die folgenden Flächen, welche jeweils zwischen die Kurve, definiert durch die Funktions : , und die -Achse enthalten sind, tragen Sie anschliessend Daumen den Massenmittelpunkt ein, und berechnen Sie abschliessend die exakten Koordinaten des Schwerpunktes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa (ou centroide) das áreas delimitadas pela curva da função e o eixo . A função dada é definida de forma diferente em dois intervalos: de a , onde , e de a , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integração para encontrar áreas e momentos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas áreas que precisamos analisar:
Primeira área (): Entre e , a função é constante . Isso forma um retângulo com altura 1.
Segunda área (): Entre e , a função é . Essa área é uma região curva sob a exponencial.
Passo 3
Vamos calcular a área de cada uma dessas regiões.
Área : Como é um retângulo, a área é simplesmente a base vezes a altura.
Área : Para a área sob a curva de 0 a 2, usamos a integral definida.
Passo 4
Agora, vamos calcular os momentos em relação ao eixo para cada área. O momento é usado para encontrar a coordenada do centroide.
Momento para :
Momento para :
Passo 5
Vamos agora somar as áreas e os momentos para obter os valores totais.
Área total :
Momento total :
Passo 6
Finalmente, para encontrar as coordenadas do centroide :
Coordenada :
Como as áreas são simétricas em rela��ão ao eixo , o centroide em fica mais próximo da área maior.
Coordenada :
Para a coordenada , precisaríamos calcular os momentos em relação ao eixo de cada área, mas como o primeiro intervalo é simétrico em relação a , e o segundo intervalo está entre 0 e 2, a média ponderada dá uma ideia aproximada.
Resposta
As coordenadas exatas do centroide são aproximadamente .