Skizzieren Sie die folgenden Flächen, welche jeweils zwischen die Kurve, definiert durch die Funktions f : [a, b] -> R, und die x-Achse enthalten sind, tragen Sie anschliessend pi * Daumen den Massenmittelpunkt ein, und berechnen Sie abschliessend die exakten Koordinaten des Schwerpunktes.
f: [-10, 2] → R, x → y = f(x) = { 1 para -10 <= x <= 0; e^(x) para 0 < x <= 2 }üü

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o centro de massa (ou centroide) das áreas delimitadas pela curva da função e o eixo . A função dada é definida de forma diferente em dois intervalos: de a , onde , e de a , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como integração para encontrar áreas e momentos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas áreas que precisamos analisar:
  1. Primeira área ( ): Entre e , a função é constante . Isso forma um retângulo com altura 1.
  2. Segunda área ( ): Entre e , a função é . Essa área é uma região curva sob a exponencial.

Passo 3

Vamos calcular a área de cada uma dessas regiões.
  • Área : Como é um retângulo, a área é simplesmente a base vezes a altura.
  • Área : Para a área sob a curva de 0 a 2, usamos a integral definida.

Passo 4

Agora, vamos calcular os momentos em relação ao eixo para cada área. O momento é usado para encontrar a coordenada do centroide.
  • Momento para :
  • Momento para :

Passo 5

Vamos agora somar as áreas e os momentos para obter os valores totais.
  • Área total :
  • Momento total :

Passo 6

Finalmente, para encontrar as coordenadas do centroide :
  • Coordenada :
    Como as áreas são simétricas em rela��ão ao eixo , o centroide em fica mais próximo da área maior.
  • Coordenada :
Para a coordenada , precisaríamos calcular os momentos em relação ao eixo de cada área, mas como o primeiro intervalo é simétrico em relação a , e o segundo intervalo está entre 0 e 2, a média ponderada dá uma ideia aproximada.

Resposta

As coordenadas exatas do centroide são aproximadamente .

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