Skizzieren Sie die folgenden Flächen, welche jeweils zwischen die Kurve, definiert durch die Funktions
:
, und die
-Achse enthalten sind, tragen Sie anschliessend
Daumen den Massenmittelpunkt ein, und berechnen Sie abschliessend die exakten Koordinaten des Schwerpunktes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a área entre a curva da função
no intervalo
e o eixo
. Depois, precisamos encontrar o “Massenmittelpunkt”, que é só o jeito chique de dizer o centro de massa ou o centroide dessa área. Para isso, vamos precisar entender de geometria analítica e cálculo, especialmente noções de áreas sob curvas e como calcular coordenadas de centroides usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função
de
a
. Essa é uma função linear que tem uma inclinação de 1 e intercepta o eixo
em 10. Quando
,
e quando
,
. Então, a curva passa pelos pontos
e
e forma uma linha reta entre eles. A área entre essa linha e o eixo
é o que vamos analisar.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área
dessa região. Como a função é linear e não cruza o eixo
dentro do intervalo dado (exceto em
), a área será simplesmente a integral da função de
a
:
Vamos resolver essa integral:
Então, a área
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as coordenadas do centroide
. As fórmulas para o centroide são:
Vamos calcular
primeiro:
Resolvendo a integral:
Então,
Agora, vamos calcular
:
Resolvendo a integral:
Então,
Resposta
O centroide da área entre a curva
e o eixo
no intervalo
tem coordenadas aproximadas
, ou seja,
.