Skizzieren Sie die folgenden Flächen, welche jeweils zwischen die Kurve, definiert durch die Funktions f : [a, b] -> R, und die x-Achse enthalten sind, tragen Sie anschliessend pi * Daumen den Massenmittelpunkt ein, und berechnen Sie abschliessend die exakten Koordinaten des Schwerpunktes.
f: [-10,10] -> R, x -> y = f(x) = x + 10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar a área entre a curva da função no intervalo e o eixo . Depois, precisamos encontrar o “Massenmittelpunkt”, que é só o jeito chique de dizer o centro de massa ou o centroide dessa área. Para isso, vamos precisar entender de geometria analítica e cálculo, especialmente noções de áreas sob curvas e como calcular coordenadas de centroides usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função de a . Essa é uma função linear que tem uma inclinação de 1 e intercepta o eixo em 10. Quando , e quando , . Então, a curva passa pelos pontos e e forma uma linha reta entre eles. A área entre essa linha e o eixo é o que vamos analisar.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área dessa região. Como a função é linear e não cruza o eixo dentro do intervalo dado (exceto em ), a área será simplesmente a integral da função de a :
Vamos resolver essa integral:
Então, a área .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas do centroide . As fórmulas para o centroide são:
Vamos calcular primeiro:
Resolvendo a integral:
Então,
Agora, vamos calcular :
Resolvendo a integral:
Então,

Resposta

O centroide da área entre a curva e o eixo no intervalo tem coordenadas aproximadas , ou seja, .

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