• Seja f: R -> R uma função que satisfaz f(x+y) = f(x) + f(y), x, y pertence aos reais. Calcule f(0). Conclua que f(-x) = -f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente trabalhar com uma função que satisfaz a propriedade para qualquer e reais. Nosso objetivo é calcular e depois mostrar que . Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções e propriedades de operações com números reais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Para isso, vamos usar a propriedade dada substituindo e por .
Substituindo e na equação , temos:
Isso simplifica para:
Agora, vamos resolver para .

Passo 3

Subtraindo de ambos os lados da equação , ficamos com:
Então, concluímos que .

Passo 4

Agora, vamos mostrar que . Para isso, vamos usar novamente a propriedade da função.
Vamos substituir na equação :
Isso simplifica para:
Sabemos que , então:
Agora, é só isolar .

Passo 5

Subtraindo de ambos os lados, temos:
Isso mostra que é o oposto de , ou seja, é uma função ímpar.

Resposta

e .

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