Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função
no ponto
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é um conceito básico do cálculo diferencial. Vamos precisar entender como essa definição funciona e aplicar passo a passo para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é definida por:
Essa fórmula basicamente nos diz a taxa de variação da função naquele ponto específico.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular
e
:
Substituindo esses valores na expressão da derivada:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela conjugada do numerador:
No numerador, aplicamos a identidade
:
Cancelamos o
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, tiramos o limite quando
tende a zero:
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
Resposta
A derivada de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que
. Sabendo-se que
, calcule
. Deduza que se
é derivável em
então
é derivável em qualquer
e vale a fórmula
.
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;
Sela
.
Calcular e
.
Calcular