Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é um conceito básico do cálculo diferencial. Vamos precisar entender como essa definição funciona e aplicar passo a passo para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é definida por:
Essa fórmula basicamente nos diz a taxa de variação da função naquele ponto específico.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :
Substituindo esses valores na expressão da derivada:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos e dividimos pela conjugada do numerador:
No numerador, aplicamos a identidade :
Cancelamos o no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, tiramos o limite quando tende a zero:
Para simplificar, racionalizamos o denominador:

Resposta

A derivada de no ponto é:

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Seja uma função tal que . Sabendo-se que , calcule . Deduza que se é derivável em então é derivável em qualquer e vale a fórmula .
Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
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Usando a definição, determinar a derivada das funções nos pontos indicados:
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Sela .
Calcular e .