Seja F: R^4 R^3 a transformação linear definida por:
F(x, y, z, t)=(x-y+z+t, x+2 z-t, x+y+3 z-3 t)
Encontre uma base e a dimensão da imagem de F.

Passo 1

Então, temos uma transformação linear F(x, y, z, t) = (x - y + z + t, x + 2z - t, x + y + 3z - 3t) definida por:
O objetivo é encontrar uma base para a imagem de e determinar a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares, matrizes de transformação, e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 1 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 1 & 3 & -3 por uma matriz. Cada componente de corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, podemos escrever a matriz de como:
Essa matriz possui 3 linhas (correspondentes aos elementos de ) e 4 colunas (correspondentes aos elementos de ).

Passo 3

Para encontrar a imagem de v1 = 1 1 1 , v2 = -1 0 1 , v3 = 1 2 3 , v4 = 1 -1 -3 , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores em , precisamos determinar os vetores coluna de que são linearmente independentes. Esses vetores formarão uma base para a imagem.
Vamos analisar as colunas da matriz :
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes.

Passo 4

Para verificar a independência linear, procuramos coeficientes av1 + bv2 + cv3 + dv4 = 0 tais que:
a - b + c + d = 0 a + 0b + 2c - d = 0 a + b + 3c - 3d = 0
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que existe uma solução trivial ( ), indicando que as colunas são linearmente independentes. No entanto, como temos 3 vetores em , no máximo 3 deles podem ser independentes.

Passo 5

Vamos formar uma matriz com as colunas B = 1 & -1 & 1 1 & 0 & 2 1 & 1 & 3 e verificar seu determinante para confirmar a independência:
det(B) = 1(0 cdot 3 - 2 cdot 1) - (-1)(1 cdot 3 - 2 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1(-2) + 1(1) + 1(1) = -2 + 1 + 1 = 0
Calculando o determinante de :
Como o determinante é zero, as colunas não são todas independentes. Portanto, precisamos remover uma coluna dependente.

Passo 6

Vamos considerar apenas as colunas C = 1 & -1 1 & 0 1 & 1 e det(C) = 1 cdot 0 - (-1) cdot 1 = 0 + 1 = 1 neq 0 :
Calculando o determinante de para verificar a independência:
Como o determinante é diferente de zero, as colunas e são linearmente independentes e formam uma base para a imagem de .

Resposta

Uma base para a imagem de 1 1 1 , -1 0 1 é formada pelos vetores:
A dimensão da imagem de é 2.

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Sejam A=(ai j)2 times 3 dada por ai j=3 i-2 j, B=(bi j)2 times 3 dada por bi j=2+i+j, C=(ci j)3 times 1 dada por ci j=i cdot j e D=(di j)1 times 2 dada por di j=2 ji cdot(-1)^i+j. Determine, se possível: (2 A+B) C
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Sejam S a base canônica de R^2 e B=v1, v2 a base dada por v1= (2,1) e v2=(-3,4). Se T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+y,-x+y), então:
Encontre a matriz de transição [T]B^S.