Então, temos uma transformação linear definida por:
O objetivo é encontrar uma base para a imagem de e determinar a dimensão dessa imagem. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados a transformações lineares, matrizes de transformação, e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Cada componente de corresponde a uma combinação linear das variáveis . Assim, podemos escrever a matriz de como:
Essa matriz possui 3 linhas (correspondentes aos elementos de ) e 4 colunas (correspondentes aos elementos de ).
Passo 3
Para encontrar a imagem de v1 = 1 1 1 , v2 = -1 0 1 , v3 = 1 2 3 , v4 = 1 -1 -3 , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a vetores em , precisamos determinar os vetores coluna de que são linearmente independentes. Esses vetores formarão uma base para a imagem.
Vamos analisar as colunas da matriz :
Vamos verificar se essas colunas são linearmente independentes.
Passo 4
Para verificar a independência linear, procuramos coeficientes av1 + bv2 + cv3 + dv4 = 0 tais que:
a - b + c + d = 0 a + 0b + 2c - d = 0 a + b + 3c - 3d = 0
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos que existe uma solução trivial (), indicando que as colunas são linearmente independentes. No entanto, como temos 3 vetores em , no máximo 3 deles podem ser independentes.
Passo 5
Vamos formar uma matriz com as colunas B = 1 & -1 & 1 1 & 0 & 2 1 & 1 & 3 e verificar seu determinante para confirmar a independência: