Sejam A=(ai j)2 times 3 dada por ai j=3 i-2 j, B=(bi j)2 times 3 dada por bi j=2+i+j, C=(ci j)3 times 1 dada por ci j=i cdot j e D=(di j)1 times 2 dada por di j=2 ji cdot(-1)^i+j. Determine, se possível: (2 A+B) C

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos quatro matrizes:
  • A de ordem 2 times 3, onde cada elemento aij = 3i - 2j,
  • B de ordem 2 times 3, onde cada elemento bij = 2 + i + j,
  • C de ordem 3 times 1, onde cada elemento cij = i cdot j,
  • D de ordem 1 times 2, onde cada elemento dij = 2ji cdot (-1)^i+j.
Queremos determinar se é possível calcular a expressão (2A + B) C. Para isso, vamos precisar entender como realizar operações com matrizes, como multiplicação e soma.

Passo 2

Vamos começar calculando a matriz 2A. Isso significa multiplicar cada elemento de A por 2. Se A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 , então:
2A = 2a11 & 2a12 & 2a13 2a21 & 2a22 & 2a23
Vamos calcular cada elemento de A usando a fórmula aij = 3i - 2j.
Para i=1:
  • a11 = 3(1) - 2(1) = 3 - 2 = 1
  • a12 = 3(1) - 2(2) = 3 - 4 = -1
  • a13 = 3(1) - 2(3) = 3 - 6 = -3
Para i=2:
  • a21 = 3(2) - 2(1) = 6 - 2 = 4
  • a22 = 3(2) - 2(2) = 6 - 4 = 2
  • a23 = 3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0
Então, A = 1 & -1 & -3 4 & 2 & 0 e:
2A = 2 & -2 & -6 8 & 4 & 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz 2A + B. Para somar duas matrizes, elas precisam ter a mesma dimensão, o que é o caso aqui (ambas são 2 times 3). A soma é feita elemento a elemento:
2A + B = 2 + b11 & -2 + b12 & -6 + b13 8 + b21 & 4 + b22 & 0 + b23
Primeiro, vamos calcular cada elemento de B usando a fórmula bij = 2 + i + j.
Para i=1:
  • b11 = 2 + 1 + 1 = 4
  • b12 = 2 + 1 + 2 = 5
  • b13 = 2 + 1 + 3 = 6
Para i=2:
  • b21 = 2 + 2 + 1 = 5
  • b22 = 2 + 2 + 2 = 6
  • b23 = 2 + 2 + 3 = 7
Então, B = 4 & 5 & 6 5 & 6 & 7 . Agora, somando com 2A:
2A + B = 2 + 4 & -2 + 5 & -6 + 6 8 + 5 & 4 + 6 & 0 + 7 = 6 & 3 & 0 13 & 10 & 7

Passo 4

Agora, vamos multiplicar a matriz resultante (2A + B) pela matriz C. A multiplicação de matrizes é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Aqui, (2A + B) é 2 times 3 e C é 3 times 1, então podemos multiplicá-las. O resultado será uma matriz 2 times 1.
A multiplicação é feita da seguinte forma:
(2A + B) C = 6 & 3 & 0 13 & 10 & 7 c11 c21 c31 = 6c11 + 3c21 + 0c31 13c11 + 10c21 + 7c31
Vamos calcular cada elemento de C usando a fórmula cij = i cdot j.
Para j=1:
  • c11 = 1 cdot 1 = 1
  • c21 = 2 cdot 1 = 2
  • c31 = 3 cdot 1 = 3
Então, C = 1 2 3 .
Substituindo na multiplicação:
(2A + B) C = 6(1) + 3(2) + 0(3) 13(1) + 10(2) + 7(3) = 6 + 6 + 0 13 + 20 + 21 = 12 54

Resposta

(2 A + B) C = 12 54

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Seja F: R^4 R^3 a transformação linear definida por:
F(x, y, z, t)=(x-y+z+t, x+2 z-t, x+y+3 z-3 t)
Encontre uma base e a dimensão da imagem de F.
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