Sejam A=(ai j)2 times 3 dada por ai j=3 i-2 j, B=(bi j)2 times 3 dada por bi j=2+i+j, C=(ci j)3 times 1 dada por ci j=i cdot j e D=(di j)1 times 2 dada por di j=2 ji cdot(-1)^i+j. Determine, se possível: A B^t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular o produto da matriz com a transposta da matriz , ou seja, . Estamos lidando com multiplicação de matrizes aqui, um assunto de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como funciona a transposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as dimensões das matrizes envolvidas. A matriz é de tamanho (2 linhas e 3 colunas) e a matriz também é de . Quando a gente transpõe a matriz , ela vira de tamanho .

Passo 3

Agora, vamos verificar se dá pra multiplicar por . A regra pra multiplicação de matrizes diz que o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. Aqui, tem 3 colunas e tem 3 linhas, então tá tudo certo pra multiplicar!

Passo 4

Vamos montar as matrizes pra facilitar:

Matriz A = a11 & a12 & a13 a21 & a22 & a23 = 3(1) - 2(1) & 3(1) - 2(2) & 3(1) - 2(3) 3(2) - 2(1) & 3(2) - 2(2) & 3(2) - 2(3) = 1 & -1 & -3 4 & 2 & 0 :
[
A = B = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 = 2+1+1 & 2+1+2 & 2+1+3 2+2+1 & 2+2+2 & 2+2+3 = 4 & 5 & 6 5 & 6 & 7

B^t = 4 & 5 5 & 6 6 & 7


]

Matriz :
[
B =


]
Transposta de , :

Passo 5

Agora, vamos multiplicar A B^t = 1 & -1 & -3 4 & 2 & 0 4 & 5 5 & 6 6 & 7 por 1 times 4 + (-1) times 5 + (-3) times 6 = 4 - 5 - 18 = -19 :
1 times 5 + (-1) times 6 + (-3) times 7 = 5 - 6 - 21 = -22
Para multiplicar, cada elemento da linha de 4 times 4 + 2 times 5 + 0 times 6 = 16 + 10 + 0 = 26 multiplica cada elemento da coluna de 4 times 5 + 2 times 6 + 0 times 7 = 20 + 12 + 0 = 32 e soma tudo. Vamos calcular elemento por elemento:
Para :
Para :
Para :
Para :

Resposta

A B^t = -19 & -22 26 & 32

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Sejam A=(ai j)2 times 3 dada por ai j=3 i-2 j, B=(bi j)2 times 3 dada por bi j=2+i+j, C=(ci j)3 times 1 dada por ci j=i cdot j e D=(di j)1 times 2 dada por di j=2 ji cdot(-1)^i+j. Determine, se possível: A+B
Seja A=(ai j)3 times 3 dada por ai j=lli-j, & se i>j i, & se i=j 2 j, & se i Construa a mat riz A e, em seguida, determine: a12, a23 e a32;
Sejam A=(ai j)2 times 3 dada por ai j=3 i-2 j, B=(bi j)2 times 3 dada por bi j=2+i+j, C=(ci j)3 times 1 dada por ci j=i cdot j e D=(di j)1 times 2 dada por di j=2 ji cdot(-1)^i+j. Determine, se possível: (2 A+B) C
Seja F: R^4 R^3 a transformação linear definida por:
F(x, y, z, t)=(x-y+z+t, x+2 z-t, x+y+3 z-3 t)
Encontre uma base e a dimensão da imagem de F.