Seja . Para qualquer, ponhamos . Prove que para todo é um subespaço vetorial de E .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais de funções. Mais especificamente, temos um conjunto que é o conjunto de todas as funções de para . Para qualquer subconjunto de , definimos como o conjunto de todas as funções em que são iguais a zero para todo em .
O que precisamos provar é que, para qualquer , o conjunto forma um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para algo ser um subespaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial é um subconjunto de que satisfaz três propriedades importantes:
  1. Contém o vetor zero: O vetor zero de está no subconjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no subconjunto e somar, o resultado também está no subconjunto.
  3. Fechado sob multiplicação escalar: Se você pegar um vetor no subconjunto e multiplicar por qualquer escalar, o resultado também está no subconjunto.
Vamos aplicar essas propriedades ao conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é a função que atribui zero a todo em , ou seja, para todo . Como é o conjunto das funções que são zero para todo em , claramente essa função zero está em . Então, contém o vetor zero.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções quaisquer e em . Isso significa que para todo em , temos e .
Agora, vamos considerar a soma dessas duas funções, . Para qualquer em :
Então, também está em . Portanto, é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação escalar:
Agora, vamos pegar uma função em e um escalar qualquer. Queremos ver se também está em .
Para qualquer em :
Assim, também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Juntando tudo, mostramos que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação escalar. Portanto, para todo , é realmente um subespaço vetorial de .

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