Seja
. Para
qualquer, ponhamos
. Prove que para todo
é um subespaço vetorial de E .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está falando sobre espaços vetoriais de funções. Mais especificamente, temos um conjunto
que é o conjunto de todas as funções de
para
. Para qualquer subconjunto
de
, definimos
como o conjunto de todas as funções em
que são iguais a zero para todo
em
.
O que precisamos provar é que, para qualquer
, o conjunto
forma um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para algo ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial
é um subconjunto de
que satisfaz três propriedades importantes:
- Contém o vetor zero: O vetor zero de
está no subconjunto. - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer no subconjunto e somar, o resultado também está no subconjunto.
- Fechado sob multiplicação escalar: Se você pegar um vetor no subconjunto e multiplicar por qualquer escalar, o resultado também está no subconjunto.
Vamos aplicar essas propriedades ao conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é a função que atribui zero a todo
em
, ou seja,
para todo
. Como
é o conjunto das funções que são zero para todo
em
, claramente essa função zero está em
. Então,
contém o vetor zero.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções quaisquer
e
em
. Isso significa que para todo
em
, temos
e
.
Agora, vamos considerar a soma dessas duas funções,
. Para qualquer
em
:
Então,
também está em
. Portanto,
é fechado sob adição.
3. Fechado sob multiplicação escalar:
Agora, vamos pegar uma função
em
e um escalar
qualquer. Queremos ver se
também está em
.
Para qualquer
em
:
Assim,
também está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação escalar.
Resposta
Juntando tudo, mostramos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação escalar. Portanto, para todo
,
é realmente um subespaço vetorial de
.
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Seja
a transformaçāo linear definida na base
por
e
. Determine
Seja
uma transformaçāo linear dada por
. Encontre uma base e a dimensāo para a imagem de
.
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(b) .
(b)
Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo são subespaço vetoriais.
(d) e
(d)