Seja
, onde
é uma função diferenciável. Expresse
em termos da derivadas parciais de
. Calcule
supondo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função composta , onde
é diferenciável. Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, expressando-a em termos das derivadas parciais de
. Depois disso, vamos calcular
sabendo que
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia em cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função composta. Quando temos uma função que depende de outras funções, usamos a regra da cadeia para derivar. No nosso caso,
depende de
, que por sua vez depende de
e . Então, para achar
, vamos derivar
em relação a suas variáveis multiplicando pelas derivadas dessas variáveis em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia. Se
, então:
No nosso caso,
e . Então, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, substituímos esses resultados na expressão da regra da cadeia:
Aqui, usei
para representar a derivada parcial de
em relação a
e
para a derivada parcial em relação a
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Primeiro, substituímos
na expressão que encontramos:
Simplificando os termos:
Então:
Passo 7
Percebemos que o primeiro termo é zero, então sobra apenas:
E de acordo com o enunciado, sabemos que
.
Resposta
Portanto,
.
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Verifique que a função
satisfaz a equação
em seu domínio.
Encontre as derivadas parciais das seguintes funções
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