Seja F(t) = f(e^(t^2), sen(t)), onde f(x, y) é uma função diferenciável. Expresse F'(t) em termos da derivadas parciais de f. Calcule F'(0) supondo f_y(1, 0) = 5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função composta , onde é diferenciável. Nosso objetivo é encontrar a derivada de f(x, y) em relação a F(t), ou seja, t, expressando-a em termos das derivadas parciais de . Depois disso, vamos calcular f sabendo que . Para isso, vamos usar a regra da cadeia em cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função composta. Quando temos uma função que depende de outras funções, usamos a regra da cadeia para derivar. No nosso caso, F(t) depende de f, que por sua vez depende de e . Então, para achar , vamos derivar em relação a suas variáveis multiplicando pelas derivadas dessas variáveis em relação a f.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. Se , então:
No nosso caso, e . Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos calcular e :

Passo 5

Agora, substituímos esses resultados na expressão da regra da cadeia:
Aqui, usei para representar a derivada parcial de f em relação a x e para a derivada parcial em relação a y.

Passo 6

Agora, vamos calcular . Primeiro, substituímos na expressão que encontramos:
Simplificando os termos:
Então:

Passo 7

Percebemos que o primeiro termo é zero, então sobra apenas:
E de acordo com o enunciado, sabemos que .

Resposta

Portanto, .

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