Seja uma transformação linear. Mostre que se e somente se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para uma transformação linear , ter é a mesma coisa que dizer que a imagem de está dentro do núcleo de , ou seja, . Vamos usar conceitos de transformações lineares, núcleos e imagens para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que aplicar duas vezes seguidas a qualquer vetor de resulta no vetor zero. Matematicamente, para todo , temos:
Isso implica que está no núcleo de , porque o núcleo é o conjunto de vetores que são mapeados para zero por .

Passo 3

Agora, vamos mostrar a implicação direta: se , então .
Se , para todo , . Isso significa que pertence a . Logo, todas as imagens de realmente estão dentro do núcleo de , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos fazer o inverso: mostrar que se , então .
Se , então para todo , está em . Isso significa que para todo .
Portanto, para todo , o que implica que .

Resposta

Concluímos que se e somente se .

Exercícios relacionados

Em cada parte, encontre a matriz aumentada do sistema de equações lineares dado.
f)
Obter as equações reduzidas na variável , da reta: Dada por :
20. Determinar equações paramétricas das retas que passam por:
a) e é paralela ao eixo ;
Verificar se a reta está contida no plano : a)
b) e
Seja uma aplicação. Mostre que
(a) Se F é uma transformação linear, então .