Seja
uma transformação linear. Mostre que
se e somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para uma transformação linear
, ter
é a mesma coisa que dizer que a imagem de
está dentro do núcleo de
, ou seja,
. Vamos usar conceitos de transformações lineares, núcleos e imagens para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que aplicar
duas vezes seguidas a qualquer vetor de
resulta no vetor zero. Matematicamente, para todo
, temos:
Isso implica que
está no núcleo de
, porque o núcleo é o conjunto de vetores que são mapeados para zero por
.
Passo 3
Agora, vamos mostrar a implicação direta: se
, então
.
Se
, para todo
,
. Isso significa que
pertence a
. Logo, todas as imagens de
realmente estão dentro do núcleo de
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos fazer o inverso: mostrar que se
, então
.
Se
, então para todo
,
está em
. Isso significa que
para todo
.
Portanto,
para todo
, o que implica que
.
Resposta
Concluímos que
se e somente se
.