Seja uma transformação linear. Mostre que se e somente se .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que, para uma transformação linear , ter é a mesma coisa que dizer que a imagem de está dentro do núcleo de , ou seja, . Vamos usar conceitos de transformações lineares, núcleos e imagens para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que aplicar duas vezes seguidas a qualquer vetor de resulta no vetor zero. Matematicamente, para todo , temos:
Isso implica que está no núcleo de , porque o núcleo é o conjunto de vetores que são mapeados para zero por .
Passo 3
Agora, vamos mostrar a implicação direta: se , então .
Se , para todo , . Isso significa que pertence a . Logo, todas as imagens de realmente estão dentro do núcleo de , ou seja, .
Passo 4
Agora, vamos fazer o inverso: mostrar que se , então .
Se , então para todo , está em . Isso significa que para todo .